関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $-1 \le x \le 0$ のときの最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $-1 \le x \le 0$ のときの最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4}$

$f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x-1)^2 - 1) - \frac{1}{4}$

$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$ です。

これは上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, \frac{1}{4})$ です。

定義域は $-1 \le x \le 0$ なので、この範囲で $f(x)$ の最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ であり、これは定義域外です。

$f(x)$ は $x=1$ から離れるほど小さくなるので、$x=0$ で最大値、 $x=-1$ で最小値を取ります。

$x=0$ のとき、 $f(0) = -\frac{1}{2}(0-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$x=-1$ のとき、$f(-1) = -\frac{1}{2}(-1-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(-2)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(4) + \frac{1}{4} = -2 + \frac{1}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$

よって、最大値は $-\frac{1}{4}$ 、最小値は $-\frac{7}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値は $-\frac{1}{4}$、最小値は $-\frac{7}{4}$である。