関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ の定義域が $-1 \leq x \leq 2$ のときの最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ の定義域が $-1 \leq x \leq 2$ のときの最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4}$

$f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x-1)^2 - 1) - \frac{1}{4}$

$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$

この関数は、頂点が $(1, \frac{1}{4})$ の上に凸な放物線です。

定義域は $-1 \leq x \leq 2$ です。頂点の $x$ 座標は $1$ であり、これは定義域に含まれます。

$x=1$ のとき、$f(1) = -\frac{1}{2}(1-1)^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

これは最大値の候補です。

$x=-1$ のとき、$f(-1) = -\frac{1}{2}(-1-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(-2)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(4) + \frac{1}{4} = -2 + \frac{1}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$

$x=2$ のとき、$f(2) = -\frac{1}{2}(2-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

したがって、最大値は $f(1) = \frac{1}{4}$、最小値は $f(-1) = -\frac{7}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{1}{4}$, 最小値は $-\frac{7}{4}$ である。