関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ (定義域: $1 \le x \le a$, $a > 1$)の最大値を求める問題です。$a$の値によって場合分けが必要です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ (定義域: $1 \le x \le a$, $a > 1$)の最大値を求める問題です。$a$の値によって場合分けが必要です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x - 3 = -(x^2 - 6x) - 3 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 3 = -(x - 3)^2 + 9 - 3 = -(x - 3)^2 + 6$

これは、上に凸の放物線で、頂点の座標は$(3, 6)$です。軸は$x = 3$です。

定義域は$1 \le x \le a$で、$a > 1$です。

軸$x=3$が定義域に含まれるかどうかで場合分けをします。

(i) $1 < a < 3$のとき、定義域は$1 \le x \le a$なので、軸は定義域に含まれません。

$x = 1$のとき、$y = -1^2 + 6(1) - 3 = -1 + 6 - 3 = 2$。

$x = a$のとき、$y = -a^2 + 6a - 3$。

$x$が増加すると$y$の値は減少するので、$x=1$のとき最大値をとります。

このとき、$x = 1$ で最大値 $2$ をとります。

(ii) $3 \le a$のとき、定義域は$1 \le x \le a$なので、軸は定義域に含まれます。

頂点$(3, 6)$が定義域に含まれるので、$x = 3$で最大値 $6$ をとります。

まとめると、

$1 < a < 3$のとき、$x = 1$で最大値$2$をとる。

$3 \le a$のとき、$x = 3$で最大値$6$をとる。

したがって、

アに入るのは3、

イに入るのは1、

ウに入るのは2、

エに入るのは3、

オに入るのは6。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 6