$a$ を実数とするとき、2つの方程式 $ax^2 - 4x + 2a = 0$ と $x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ がある。 (1) 2つの方程式がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) さらに、$a$ が整数のとき、2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解を持つような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数とするとき、2つの方程式 $ax^2 - 4x + 2a = 0$ と $x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ がある。

(1) 2つの方程式がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) さらに、$a$ が整数のとき、2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解を持つような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの方程式がともに実数解を持つ条件を求める。

まず、$ax^2 - 4x + 2a = 0$ が実数解を持つためには、$a \neq 0$ かつ判別式 $D_1 = (-4)^2 - 4(a)(2a) \geq 0$ が必要である。

$16 - 8a^2 \geq 0$

$2 - a^2 \geq 0$

$a^2 \leq 2$

$-\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}$

ただし、$a \neq 0$ であるから、$-\sqrt{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \sqrt{2}$

次に、$x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ が実数解を持つためには、判別式 $D_2 = (-2a)^2 - 4(1)(2a^2 - 2a - 3) \geq 0$ が必要である。

$4a^2 - 8a^2 + 8a + 12 \geq 0$

$-4a^2 + 8a + 12 \geq 0$

$a^2 - 2a - 3 \leq 0$

$(a - 3)(a + 1) \leq 0$

$-1 \leq a \leq 3$

したがって、2つの方程式がともに実数解を持つためには、$-\sqrt{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \sqrt{2}$ かつ $-1 \leq a \leq 3$ が必要である。

これらをまとめると、$-1 \leq a < 0$ または $0 < a \leq \sqrt{2}$ となる。

(2) 2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解を持つ条件を求める。

まず、$ax^2 - 4x + 2a = 0$ が正の実数解を持つためには、$a \neq 0$ かつ実数解を持つことが必要である。実数解を持つ条件は(1)より$-\sqrt{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \sqrt{2}$ である。

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8a^2}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2a^2}}{a}$ である。正の解を持つためには、$a>0$ かつ $2 - \sqrt{4 - 2a^2} > 0$ または $a<0$ かつ $2 + \sqrt{4 - 2a^2} < 0$ が必要である。

$a>0$ かつ $2 > \sqrt{4 - 2a^2}$ より $4 > 4 - 2a^2$, $2a^2 > 0$ より $a \neq 0$ である。これは $0 < a \leq \sqrt{2}$ を満たす。

$a<0$ かつ $2 + \sqrt{4 - 2a^2} < 0$ は $\sqrt{4 - 2a^2} < -2$ となり、これはありえない。

よって、$0 < a \leq \sqrt{2}$

次に、$x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ が正の実数解を持つためには、実数解を持つことが必要である。実数解を持つ条件は(1)より $-1 \leq a \leq 3$ である。

解の公式より、$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(2a^2 - 2a - 3)}}{2} = a \pm \sqrt{-a^2 + 2a + 3}$ である。

正の解を持つためには、$a + \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ かつ $-1 \leq a \leq 3$ が必要である。

$a + \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ は常に成立する($-1 \leq a \leq 3$の範囲)。解の１つが正であれば良いので、より厳しい条件は $a - \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ である。

$a > \sqrt{-a^2 + 2a + 3}$

$a^2 > -a^2 + 2a + 3$

$2a^2 - 2a - 3 > 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{7}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ は不適切。

$a < \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0.82$ または $a > \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1.82$

以上より、$0 < a \leq \sqrt{2}$ かつ ($a < \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$ または $a > \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$) かつ $-1 \leq a \leq 3$ を満たす $a$ を求める。

$1.82 < a \leq \sqrt{2} = 1.414$を満たす整数は存在しないので、誤り。

$0 < a < \frac{1-\sqrt{7}}{2}$は存在しないので誤り。

$ax^2 - 4x + 2a = 0$について、$a>0$のとき、解の積は$2a/a=2>0$より2つの解は同符号。解の和は$4/a>0$より2つの解はともに正。$0<a\leq\sqrt{2}$

$x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$について、解の積は$2a^2-2a-3$。解の和は$2a$。少なくとも１つの解が正であれば良い。$-1\leq a \leq 3$

$a=2のとき、x^2-4x+8-4-3=x^2-4x+1=0,x=2\pm\sqrt{3}$となり正解。

$0 < a \leq \sqrt{2}$ かつ $-1 \leq a \leq 3$で整数であれば$a=1$.

$x^2-4x+2=0,x=2\pm\sqrt{2}$。$x^2-2x+2-2-3=0,x^2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x=3,-1$。少なくとも１つ正解を持つので$a=1$。

$a=2$のとき$2x^2-4x+4=0$,$x^2-2x+2=0$,$x=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}$なので実数解を持たない。

$a=-1$のとき$-x^2-4x-2=0,x^2+4x+2=0,x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}$，$x^2+2x+2+2-3=0,x^2+2x+1=0,(x+1)^2=0,x=-1$。

少なくとも１つの正解を持つのは$a=1$のみ。

3. 最終的な答え

ア： $-1 \leq a < 0$ または $0 < a \leq \sqrt{2}$

イ： 1