次の条件で定義される数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2$ (2) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$

1. 問題の内容

次の条件で定義される数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2$

(2) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を変形します。

$c = 3c + 2$ となる $c$ を求めると、 $-2c = 2$ より $c = -1$ です。

よって、漸化式は $a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 1$ とすると、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列$\{b_n\}$は公比3の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ より、

$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ です。

$a_n = b_n - 1$ より、

$a_n = 3^n - 1$ です。

(2)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ は階差数列を表しています。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 4) = a_1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 4$

$= 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1) = 4 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 4n - 4 = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ となり、$n=1$ のときも成り立ちます。

したがって、$a_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^n - 1$

(2) $a_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n$