数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = (-3)^{n-1}$ で表されるとき、$\sum_{k=1}^{6} |a_k|$ を求めよ。

## 問題 39-2 (2) の解答

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = (-3)^{n-1}$ で表されるとき、$\sum_{k=1}^{6} |a_k|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の最初の数項を書き出して、絶対値を計算し、それらの和を求めます。

$a_1 = (-3)^{1-1} = (-3)^0 = 1$

$|a_1| = |1| = 1$

$a_2 = (-3)^{2-1} = (-3)^1 = -3$

$|a_2| = |-3| = 3$

$a_3 = (-3)^{3-1} = (-3)^2 = 9$

$|a_3| = |9| = 9$

$a_4 = (-3)^{4-1} = (-3)^3 = -27$

$|a_4| = |-27| = 27$

$a_5 = (-3)^{5-1} = (-3)^4 = 81$

$|a_5| = |81| = 81$

$a_6 = (-3)^{6-1} = (-3)^5 = -243$

$|a_6| = |-243| = 243$

$\sum_{k=1}^{6} |a_k| = |a_1| + |a_2| + |a_3| + |a_4| + |a_5| + |a_6| = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243$

これは初項 $1$, 公比 $3$ の等比数列の第6項までの和なので、等比数列の和の公式を用いると、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

$S_6 = \frac{1(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$

したがって、$\sum_{k=1}^{6} |a_k| = 364$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{6} |a_k| = 364$