不定積分 $\int \sqrt{1+e^{2x}} \, dx$ を求める。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt{1+e^{2x}} \, dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$e^x = t$ と置換すると、$x = \log t$ より、$dx = \frac{1}{t} dt$ となる。

したがって、

$\int \sqrt{1+e^{2x}} \, dx = \int \sqrt{1+t^2} \, \frac{1}{t} dt = \int \frac{\sqrt{1+t^2}}{t} dt$

ここで、$u = \sqrt{1+t^2}$ と置換すると、$u^2 = 1+t^2$ より、$t^2 = u^2 - 1$ となり、$t = \sqrt{u^2-1}$。

また、$2u du = 2t dt$ より、$dt = \frac{u}{t} du = \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} du$ となる。

したがって、

$\int \frac{\sqrt{1+t^2}}{t} dt = \int \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} du = \int \frac{u^2}{u^2-1} du = \int \frac{u^2-1+1}{u^2-1} du = \int \left(1 + \frac{1}{u^2-1}\right) du$

$\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right)$ より、

$\int \left(1 + \frac{1}{u^2-1}\right) du = \int \left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right)\right) du = u + \frac{1}{2}\log|u-1| - \frac{1}{2}\log|u+1| + C = u + \frac{1}{2}\log\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$

ここで、$u = \sqrt{1+t^2}$ より、

$\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\log\left|\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{\sqrt{1+t^2}+1}\right| + C$

さらに、$t=e^x$ より、

$\sqrt{1+e^{2x}} + \frac{1}{2}\log\left|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}\right| + C$

$\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1} = \frac{(\sqrt{1+e^{2x}}-1)^2}{1+e^{2x}-1} = \frac{1+e^{2x}-2\sqrt{1+e^{2x}}+1}{e^{2x}} = \frac{2+e^{2x}-2\sqrt{1+e^{2x}}}{e^{2x}}$

$\log\left|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}\right| = \log\left|\frac{(\sqrt{1+e^{2x}}-1)^2}{e^{2x}}\right| = 2\log\left|\sqrt{1+e^{2x}}-1\right| - 2x$

$\sqrt{1+e^{2x}} + \frac{1}{2}\left(2\log\left|\sqrt{1+e^{2x}}-1\right| - 2x\right) + C = \sqrt{1+e^{2x}} + \log\left|\sqrt{1+e^{2x}}-1\right| - x + C$

別の解法として、部分積分を用いる。

$\int \sqrt{1+e^{2x}} dx = \int 1 \cdot \sqrt{1+e^{2x}} dx = x\sqrt{1+e^{2x}} - \int x \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$

$t = e^x$より $x = \log t$ となり $dx = \frac{1}{t}dt$

$\int \frac{\sqrt{1+t^2}}{t}dt$ で置換積分を使う。

$1+t^2 = u^2$ とすると、$t^2 = u^2 - 1$ より $t=\sqrt{u^2-1}$

$2t dt = 2u du$ より $dt = \frac{u}{t}du = \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} du$

$\int \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^2-1}} du = \int \frac{u^2}{u^2-1} du = \int (1 + \frac{1}{u^2-1})du = u + \frac{1}{2}\log\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$

$= \sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\log\left|\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{\sqrt{1+t^2}+1}\right| + C = \sqrt{1+e^{2x}} + \frac{1}{2}\log\left|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}\right| + C$

$= \sqrt{1+e^{2x}} + \log(\sqrt{1+e^{2x}} - 1) - x + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1+e^{2x}} + \log(\sqrt{1+e^{2x}} - 1) - x + C$