与えられた分数式の引き算を計算し、簡略化せよ。 $\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の引き算を計算し、簡略化せよ。

$\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 2x = x(x-2)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{x+4}{x(x-2)} - \frac{3}{(x-1)(x-2)}$

次に、通分するために、それぞれの分数に適切な因子を掛けます。

$\frac{x+4}{x(x-2)} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{3}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{x}{x} = \frac{(x+4)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} - \frac{3x}{x(x-1)(x-2)}$

共通の分母は $x(x-1)(x-2)$ なので、分子を計算します。

$\frac{(x+4)(x-1) - 3x}{x(x-1)(x-2)}$

分子を展開して簡略化します。

$(x+4)(x-1) - 3x = x^2 - x + 4x - 4 - 3x = x^2 - 4$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x^2-4}{x(x-1)(x-2)}$

分子をさらに因数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)}$

共通の因子 $x-2$ をキャンセルします。

$\frac{x+2}{x(x-1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+2}{x(x-1)}$

または

$\frac{x+2}{x^2-x}$