与えられた式 $\frac{x+4}{x^2 - 2x} - \frac{3}{x^2 - 3x + 2}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x+4}{x^2 - 2x} - \frac{3}{x^2 - 3x + 2}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 2x = x(x-2)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

次に、共通の分母を求めます。共通の分母は $x(x-1)(x-2)$ です。

それぞれの分数を共通の分母で表します。

$\frac{x+4}{x(x-2)} = \frac{(x+4)(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$

$\frac{3}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x}{x(x-1)(x-2)}$

式を書き換えて、分子をまとめます。

$\frac{(x+4)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} - \frac{3x}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x+4)(x-1) - 3x}{x(x-1)(x-2)}$

分子を展開して簡略化します。

$(x+4)(x-1) - 3x = x^2 - x + 4x - 4 - 3x = x^2 -4$

式全体を書き換えます。

$\frac{x^2 - 4}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)}$

分子と分母に共通の因子$(x-2)$があるので、約分します。

$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x+2}{x(x-1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+2}{x(x-1)}$