不等式 $x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k$ とおく。

$f(x) > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つためには、$f(x)$ の最小値が正である必要がある。

まず、$f(x)$ の最小値を求めるために、微分して増減を調べる。

$f'(x) = 4x^3 - 4x^2 - 8x = 4x(x^2 - x - 2) = 4x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -1, 0, 2$ である。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

極小値は $f(-1) = 1 + \frac{4}{3} - 4 + k = k - \frac{5}{3}$ と $f(2) = 16 - \frac{32}{3} - 16 + k = k - \frac{32}{3}$ である。

極大値は $f(0) = k$ である。

$f(x) > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、最小値が正であれば良い。

$f(-1) = k - \frac{5}{3}$ と $f(2) = k - \frac{32}{3}$ を比較すると、$f(2)$ の方が小さい。

したがって、$f(2) > 0$ であれば良い。

$k - \frac{32}{3} > 0$

$k > \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$k > \frac{32}{3}$