与えられた2x2行列に対応する一次変換 $f$ によって、与えられた直線がどのように変換されるかを求めます。具体的には、次の4つの直線に対して、一次変換後の直線の方程式を求めます。 (1) $2x-y+3=0$ (2) $2x+y+1=0$ (3) $x+2y-5=0$ (4) $x+y+2=0$ 一次変換 $f$ を表す行列は $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2x2行列に対応する一次変換 $f$ によって、与えられた直線がどのように変換されるかを求めます。具体的には、次の4つの直線に対して、一次変換後の直線の方程式を求めます。

(1) $2x-y+3=0$

(2) $2x+y+1=0$

(3) $x+2y-5=0$

(4) $x+y+2=0$

一次変換 $f$ を表す行列は

$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点 $(x, y)$ が、一次変換 $f$ によって点 $(x', y')$ に移るとします。このとき、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となります。これから、$x, y$ を $x', y'$ で表し、与えられた直線の方程式に代入することで、変換後の直線の方程式を求めることができます。

まず、上記の行列の式から、$x', y'$ を $x, y$ で表すと、

$x' = 4x - 2y$

$y' = -2x + y$

となります。

次に、$x, y$ を $x', y'$ で表します。$y' = -2x + y$ より $y = y' + 2x$ です。これを$x' = 4x - 2y$に代入すると、

$x' = 4x - 2(y' + 2x) = 4x - 2y' - 4x = -2y'$

したがって、$x' = -2y'$。これは $x'$ と $y'$ が独立でないことを意味し、変換後の像は直線にならないか、あるいは特別な状況になることが予想されます。

行列Aの行列式は $4*1 - (-2)*(-2) = 0$ なので、これは一次変換 $f$ が線形独立なベクトルを線形従属なベクトルに写像する、つまり次元を下げる変換であるということを意味します。つまり、平面全体が直線に写像されることになります。

(1) $2x-y+3=0$ に対して、$x=x', y=y'$ と置き換えてから、$x'$と$y'$の関係式を代入することで、

$x = \frac{x'+2y'}{0}$

という形になり、直線にはなりません。そこで、直線 $2x - y + 3 = 0$ 上の二つの点を取り、それぞれの像を求めることで変換後の直線の方程式を求めます。

$2x - y + 3 = 0$ 上の点として、例えば $(0, 3)$ と $(1, 5)$ を取ります。

$(0, 3)$ の像は $A \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$

$(1, 5)$ の像は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$

このように、2つの点が同じ点に移ってしまいます。一般に、$2x-y+3 = 0$ 上の任意の点を $(x, 2x+3)$ と表すことができます。この点の像は

$A \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x-2(2x+3) \\ -2x+(2x+3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$

となります。よって、直線 $2x - y + 3 = 0$ は点 $(-6, 3)$ に写像されます。

同様に他の直線についても、直線上の点を取って像を求めることで、変換後の像を求めることができます。

(2) $2x+y+1=0$ 上の点を $(x, -2x-1)$ と表すことができます。この点の像は

$A \begin{pmatrix} x \\ -2x-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x-2(-2x-1) \\ -2x+(-2x-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8x+2 \\ -4x-1 \end{pmatrix}$

$x' = 8x+2, y' = -4x-1$ より、 $x = (x'-2)/8 = (-y'-1)/4$ となるので、 $x' = -2y'$の関係が成り立ちます。

$x' + 2y' = 0$。

(3) $x+2y-5=0$

$x=-2y+5$を代入

$A\begin{pmatrix} -2y+5\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4(-2y+5)-2y\\ -2(-2y+5)+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10y+20\\ 5y-10 \end{pmatrix}$

$x' = -10y + 20$, $y' = 5y - 10$

$y = (20-x')/10 = (y'+10)/5$

$20 - x' = 2(y' + 10) = 2y' + 20$

$x' + 2y' = 0$

(4) $x+y+2=0$

$x=-y-2$を代入

$A\begin{pmatrix} -y-2\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4(-y-2)-2y\\ -2(-y-2)+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6y-8\\ 3y+4 \end{pmatrix}$

$x' = -6y-8$, $y' = 3y+4$

$y = (-8-x')/6 = (y'-4)/3$

$-8 - x' = 2(y' - 4) = 2y' - 8$

$x' + 2y' = 0$

3. 最終的な答え

(1) 点 $(-6, 3)$

(2) $x + 2y = 0$

(3) $x + 2y = 0$

(4) $x + 2y = 0$