まず、変換 f によって (x,y) が (x′,y′) に移るとする。 このとき、
(x′y′)=(4−2−21)(xy) したがって、
x′=4x−2y y′=−2x+y これらを x,y について解く。2つ目の式を2倍して1つ目の式に加えると、 x′+2y′=0 これは任意の (x′,y′) に対して成立するわけではないので、逆行列が存在しないことを示している。 元の行列の行列式は 4⋅1−(−2)(−2)=0 であるため、一次変換 f は像を直線上に写す。 y=2x+y′ これを 2x−y+c=0 に代入すると、 2x−(2x+y′)+c=0 −y′+c=0 したがって、像は直線 y=c になる。 (1) 2x−y+3=0 のとき、 y′=3 (2) 2x+y+1=0 のとき、 y=−2x−1 だから、x′=4x−2(−2x−1)=4x+4x+2=8x+2 と y′=−2x−2x−1=−4x−1。したがって、x=−4y′+1なので、x′=8(−4y′+1)+2=−2(y′+1)+2=−2y′となり、x′+2y′=0を満たす。 (3) x+2y−5=0のとき、x=5−2yだから、x′=4(5−2y)−2y=20−10yとy′=−2(5−2y)+y=−10+5yとなる。したがって、2x′=40−20yと5y′=−50+25yより、x′=20−10y, y′=−10+5y。x′+2y′=0を確認。 (4) x+y+2=0のとき、x=−y−2だから、x′=4(−y−2)−2y=−6y−8とy′=−2(−y−2)+y=3y+4となる。したがって、3x′=−18y−24と6y′=18y+24だから、3x′+6y′=0, x′+2y′=0。 (1) 2x−y+3=0: x′=4x−2y, y′=−2x+y。 2x−y=−3 より y=2x+3。 x′=4x−2(2x+3)=−6, y′=−2x+2x+3=3。よって、変換後の直線は x′=−6, y′=3となる1点。 しかし、与えられた直線上のすべての点は1点に移されるため、直線は直線に変換されず、点になります。
この線上の点 (0,3) を f で変換すると、(4(0)−2(3),−2(0)+3)=(−6,3) になります。 (2) 2x+y+1=0: y=−2x−1。 x′=4x−2(−2x−1)=8x+2, y′=−2x−2x−1=−4x−1。 2y′=−8x−2, x′+2y′=0。 (3) x+2y−5=0: x=5−2y。 x′=4(5−2y)−2y=20−10y, y′=−2(5−2y)+y=−10+5y。 x′+2y′=0。 (4) x+y+2=0: x=−y−2。 x′=4(−y−2)−2y=−6y−8, y′=−2(−y−2)+y=3y+4。 x′+2y′=(−6y−8)+2(3y+4)=0。 すべての直線は、直線 x′+2y′=0、つまり 4x−2y+2(−2x+y)=0上の点に写像されます。したがって、与えられた直線は、変換された平面上の直線に写像されません。代わりに、与えられた線はx+2y=0という直線に写像されます。 