(1) 指数方程式 $2^{2x} + 3 \times 2^{x-1} - 1 = 0$ を解く。 (2) 指数不等式 $(\frac{1}{9})^x - 5 \times (\frac{1}{3})^x - 36 < 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 指数方程式 $2^{2x} + 3 \times 2^{x-1} - 1 = 0$ を解く。

(2) 指数不等式 $(\frac{1}{9})^x - 5 \times (\frac{1}{3})^x - 36 < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 指数方程式 $2^{2x} + 3 \times 2^{x-1} - 1 = 0$ を解く。

$2^{2x} + 3 \times \frac{2^x}{2} - 1 = 0$

$2^{2x} + \frac{3}{2} \times 2^x - 1 = 0$

両辺に2をかけると

$2 \times 2^{2x} + 3 \times 2^x - 2 = 0$

$2 (2^x)^2 + 3 \times 2^x - 2 = 0$

ここで、$t = 2^x$ とおくと

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

$(2t-1)(t+2) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -2$

$2^x = \frac{1}{2}, -2$

$2^x = \frac{1}{2}$ のとき、$2^x = 2^{-1}$ より $x = -1$

$2^x = -2$ は解なし。

したがって、$x = -1$

(2) 指数不等式 $(\frac{1}{9})^x - 5 \times (\frac{1}{3})^x - 36 < 0$ を解く。

$(\frac{1}{3})^{2x} - 5 \times (\frac{1}{3})^x - 36 < 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 5 \times (\frac{1}{3})^x - 36 < 0$

ここで、$t = (\frac{1}{3})^x$ とおくと

$t^2 - 5t - 36 < 0$

$(t-9)(t+4) < 0$

$-4 < t < 9$

$-4 < (\frac{1}{3})^x < 9$

$(\frac{1}{3})^x > -4$ は常に成り立つ。

$(\frac{1}{3})^x < 9$

$(\frac{1}{3})^x < 3^2$

$(\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^{-2}$

底$\frac{1}{3}$は1より小さいので、不等号の向きが変わる。

$x > -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$

(2) $x > -2$