7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。次の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 5桁の偶数 (2) 5桁の5の倍数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。次の条件を満たす整数は何個作れるか。

(1) 5桁の偶数

(2) 5桁の5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 5桁の偶数について

5桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。つまり、一の位は0, 2, 4, 6のいずれかでなければならない。

まず、一の位が0の場合を考える。

千の位、百の位、十の位、一の位の順に数字を決めていく。

一の位が0であるとき、残りの4桁は1, 2, 3, 4, 5, 6の6個の数字から選んで並べることになる。

千の位は0以外の数字を選ぶ必要があるので、千の位は6通り、百の位は5通り、十の位は4通りとなる。

したがって、一の位が0である5桁の偶数は$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$個である。

次に、一の位が2, 4, 6のいずれかの場合を考える。

この場合、一の位は3通り。

千の位は0以外の数字を選ぶ必要があるので、千の位は5通り(0と一の位の数字以外)。

百の位は0を含めて残りの5つの数字から選ぶので5通り。

十の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。

したがって、一の位が2, 4, 6である5桁の偶数は$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個である。

ただし、一の位が2, 4, 6の場合、千の位に0を選べないという条件がある。一の位が2, 4, 6のいずれかであり、かつ千の位が0である場合を除外する必要がある。

千の位が0である時、残りの百の位、十の位は5通り、4通りとなるため、$3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$個となる。

しかし、ここでは千の位の条件を考慮した上で計算しているので、$300 \times 3 = 900$ではない。

従って、一の位が2, 4, 6である５桁の偶数は、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個である。

よって、一の位が0, 2, 4, 6である５桁の偶数は、 $360+300+300+300 = 360 + 3 * 300 = 360+900 = 1260$個になる。

一の位が0である場合は、千の位の選択肢が0以外の6通り。百の位が5通り、十の位が4通りで、$6 \times 5 \times 4 \times 1 = 120$個。

一の位が2, 4, 6のいずれかである場合は、一の位の選び方が3通り。

千の位が0でないように、0を除いた選び方が5通り。

百の位は、残りの5個の数字から選べるので5通り。

十の位は、残りの4個の数字から選べるので4通り。

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個。

しかし、上記の計算は千の位が0でないことを考慮していない。

一の位が2, 4, 6のとき、千の位が0となる場合を考える。

千の位が0、一の位が2, 4, 6のとき、残り3桁は5, 4, 3通りで$3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$個。

したがって、$5 \times 5 \times 4 \times 3= 300$から、千の位が0になる場合を引いて、$300-180=120$

したがって、一の位が2, 4, 6のとき、$3(5 \times 5 \times 4)=300$個である。

一の位が0のとき、$6 \times 5 \times 4 = 120$個である。

なので、$120+300=420$

(2) 5桁の5の倍数について

5桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が0または5である必要がある。

まず、一の位が0の場合を考える。

一の位が0のとき、残りの4桁は1, 2, 3, 4, 5, 6の6個の数字から選んで並べることになる。

千の位は0以外の数字を選ぶ必要があるので、千の位は6通り、百の位は5通り、十の位は4通りとなる。

したがって、一の位が0である5桁の5の倍数は$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$個である。

次に、一の位が5の場合を考える。

この場合、一の位は5。

千の位は0以外の数字を選ぶ必要があるので、千の位は5通り(0と5以外の数字)。

百の位は0を含めて残りの5つの数字から選ぶので5通り。

十の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。

したがって、一の位が5である5桁の5の倍数は$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個である。

(1)と同様に、千の位が0の場合を除外する必要がある。

一の位が5、千の位が0であるとき、残り3桁は5, 4, 3通りで$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

したがって、$5 \times 5 \times 4 \times 3= 300$から、千の位が0になる場合を引いて、$300-60=240$

よって、一の位が5である５桁の5の倍数は、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個である。

したがって、5桁の5の倍数は、$360 + 300 = 660$個である。

一の位が5のとき、$5 \times 5 \times 4 = 100$個である。

なので、$360 + 300=660$個。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の偶数：420個

(2) 5桁の5の倍数：660個