2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するので、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つ。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$

判別式 $D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$(2-a)^2 = 4(4-b)$

$C_2$ と $l$ が接するので、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つ。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$

判別式 $D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$(2+a)^2 = 4(2-b)$

$(2-a)^2 = 4(4-b)$ より $4 - 4a + a^2 = 16 - 4b$

$(2+a)^2 = 4(2-b)$ より $4 + 4a + a^2 = 8 - 4b$

上の式から下の式を引くと、

$-8a = 8$ より $a = -1$

$(2 - (-1))^2 = 4(4-b)$

$9 = 16 - 4b$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

よって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2)

$C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{7}{4})) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2 + 2x + 4) - (-x + \frac{7}{4})) dx$

これは以下の式で求められます。

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (C_1 - l)dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (C_2 - l) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2+2x+4) - (x^2-2x+2)) dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x+2)dx = [2x^2 + 2x]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} = (2(\frac{1}{4})+2(\frac{1}{2})) - (2(\frac{9}{4})+2(-\frac{3}{2})) = \frac{1}{2} + 1 - \frac{9}{2} + 3 = \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + 4 = -3 + 4 = 1$

積分区間を変えることによって、面積を計算できる。

放物線 $C_1$ と $C_2$ の頂点の$x$座標はそれぞれ、$x=-1$, $x=1$である。

$C_1 - l = x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x+\frac{3}{2})^2$, $C_2 - l = x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$

面積 $S = \int_{-3/2}^{1/2} ((x^2 + 2x + 4) - (-x + 7/4)) dx = \int_{-3/2}^{1/2} ((x^2 - 2x + 2) - (-x + 7/4)) dx$

$S = \int_{-3/2}^{1/2} (x^2 + 3x + 9/4)dx - \int_{-3/2}^{1/2} (x^2 - x + 1/4) dx = 0$

したがって、$S=\int_{-3/2}^{1/2}|x^2+2x+4 - (-x + 7/4) - (x^2-2x+2 - (-x+7/4))|dx =$

$\int_{-3/2}^{1/2} |x^2 + 3x + 9/4 -(x^2 - x + 1/4)| dx$

$S = \int_{-3/2}^{1/2} |4x+2|dx = \int_{-3/2}^{-1/2} (-4x-2) dx + \int_{-1/2}^{1/2} (4x+2)dx$

$= [-2x^2-2x]_{-3/2}^{-1/2} + [2x^2+2x]_{-1/2}^{1/2} = (-1/2+1) - (-9/2+3) + (1/2+1) - (1/2 - 1)= 1/2 - (-3/2) + 3/2 - (-1/2) = 1/2+3/2+3/2+1/2 = 8/2 = 4/1 = 4$

$S = 4/3 = 1$

$C_1 - C_2 = 4x + 2$

接点のx座標： $C_1:x = -3/2 , C_2:x=1/2$

$l = -x + 7/4$

求める図形は $l$ と $C_1$, $l$ と $C_2$ によって挟まれているので、面積は

$\int_{-3/2}^{1/2} l - C_1 dx - \int_{-3/2}^{1/2} l - C_2 dx$

$= \int_{-3/2}^{1/2} 4x+2 dx=2x^2+2x |_{-3/2}^{1/2} = (\frac{1}{2}+1)-(2 \cdot \frac{9}{4}-3)=\frac{3}{2}- \frac{9}{2}+3=-3+3 =0$

$S = \int_{-3/2}^{1/2} |l-C_1+l-C_2 |dx = \int_{-3/2}^{1/2} |4x+2|dx$

$= \int_{-3/2}^{-1/2} -4x-2+\int_{-1/2}^{1/2} 4x+2$

$= [4/3x^3+\frac{3}{2} x^2+\frac{9}{4}x - \frac{1}{2}]=\int | -4x -2 | = [-2x^2-2x]$

$=\frac{7}{3}$

$4/3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$