$\sqrt{99n}$ が自然数になるような自然数 $n$ のうち、最も小さい $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{99n}$ が自然数になるような自然数 $n$ のうち、最も小さい $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、99 を素因数分解します。

$99 = 3^2 \times 11$

したがって、$\sqrt{99n} = \sqrt{3^2 \times 11 \times n}$ となります。

$\sqrt{99n}$ が自然数になるためには、$3^2 \times 11 \times n$ がある自然数の2乗になる必要があります。

$3^2$ は既に2乗の形になっているので、 $11 \times n$ が2乗の形になればよいです。

$n$ が最も小さい自然数であるためには、$11 \times n$ が最小の2乗数となるように $n$ を選びます。

$11 \times n$ が2乗数になるためには、$n$ が少なくとも11という素因数を持つ必要があります。

したがって、$n = 11$ のとき、$11 \times n = 11 \times 11 = 11^2$ となり、$11 \times n$ が2乗数になります。

よって、$n=11$ のとき

$\sqrt{99n} = \sqrt{3^2 \times 11 \times 11} = \sqrt{3^2 \times 11^2} = 3 \times 11 = 33$ となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

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