7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、次の整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 5の倍数 (4) 54000より大きい整数

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、次の整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 5の倍数

(4) 54000より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数

5桁の整数を作るので、一番左の桁は0以外である必要があります。

一番左の桁は1から6のいずれかなので、6通りの選び方があります。

残りの4桁は、残りの6個の数字から4個選んで並べるので、$6P4$通りの選び方があります。

したがって、整数の個数は $6 \times 6P4$ です。

ここで、$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ なので、

$6 \times 360 = 2160$となります。

(2) 奇数

奇数は、一番右の桁が奇数である必要があります。

使用できる奇数は1, 3, 5の3つです。

(i) 一番左の桁が0でない場合：

一番右の桁は3通りの選び方があります。

一番左の桁は、0と一番右の桁に使った数字以外から選ぶので、5通りの選び方があります。

残りの3桁は、残りの5個の数字から3個選んで並べるので、$5P3$通りの選び方があります。

したがって、$3 \times 5 \times 5P3$となります。

$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$なので、$3 \times 5 \times 60 = 900$となります。

(ii) 一番左の桁が0の場合：

一番右の桁は3通りの選び方があります。

一番左の桁は0なので、条件を満たしません。

したがって、奇数の個数は900個です。

(3) 5の倍数

5の倍数は、一番右の桁が0または5である必要があります。

(i) 一番右の桁が0の場合：

一番右の桁は1通りの選び方があります。

一番左の桁は1から6のいずれかなので、6通りの選び方があります。

残りの3桁は、残りの5個の数字から3個選んで並べるので、$5P3$通りの選び方があります。

したがって、$1 \times 6 \times 5P3$となります。

$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$なので、$1 \times 6 \times 60 = 360$となります。

(ii) 一番右の桁が5の場合：

一番右の桁は1通りの選び方があります。

一番左の桁は、0と5以外から選ぶので、5通りの選び方があります。

残りの3桁は、残りの5個の数字から3個選んで並べるので、$5P3$通りの選び方があります。

したがって、$1 \times 5 \times 5P3$となります。

$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$なので、$1 \times 5 \times 60 = 300$となります。

したがって、5の倍数の個数は$360 + 300 = 660$個です。

(4) 54000より大きい整数

5桁の整数が54000より大きくなるには、以下の2つのケースがあります。

(i) 一番左の桁が5の場合：

次の桁が4, 5, または6である必要があります。

次の桁が4の場合、残りの3桁は自由に並べることができます。残りの5個の数字から3個を選んで並べるので、$5P3$通りです。

次の桁が5または6の場合、残りの3桁は自由に並べることができます。残りの5個の数字から3個を選んで並べるので、$2 \times 5P3$通りです。

したがって、$5P3 + 2 \times 5P3 = 3 \times 5P3$となります。$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$なので、$3 \times 60 = 180$となります。

(ii) 一番左の桁が6の場合：

残りの4桁は自由に並べることができます。残りの6個の数字から4個を選んで並べるので、$6P4$通りです。

$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$となります。

したがって、54000より大きい整数の個数は$180 + 360 = 540$個です。

3. 最終的な答え

(1) 整数: 2160個

(2) 奇数: 900個

(3) 5の倍数: 660個

(4) 54000より大きい整数: 540個