3つの商店 X, Y, Z の販売価格を比較したところ、高い順に X, Y, Z である。3つの商店の販売価格の平均は176円で、商店 X の販売価格は190円である。このとき、商店 Z の販売価格の最大値を求める。

1. 問題の内容

3つの商店 X, Y, Z の販売価格を比較したところ、高い順に X, Y, Z である。3つの商店の販売価格の平均は176円で、商店 X の販売価格は190円である。このとき、商店 Z の販売価格の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、3つの商店の販売価格の合計を求める。平均が176円なので、合計は $3 \times 176 = 528$ 円である。

商店Xの価格は190円なので、商店YとZの価格の合計は $528 - 190 = 338$ 円となる。

$Y + Z = 338$

商店Zの価格を最大にするためには、商店Yの価格をできるだけ小さくする必要がある。ただし、Yの価格はZの価格以上でなければならない。また、X>Y>Zの関係が成り立つ。

$X = 190$ なので、$190 > Y > Z$ である。

$Y$ が $Z$ に限りなく近い場合を考える。

$Y = Z + \epsilon$ (ただし、 $\epsilon$ は微小な正の数) とおくと、

$Y + Z = 2Z + \epsilon = 338$

$2Z = 338 - \epsilon$

$Z = 169 - \epsilon/2$

しかし、$Y > Z$ より、$Y = Z+ \epsilon$

また、$X > Y$ より、$190 > Y$

$Y = 169 + \epsilon/2$

$190 > 169 + \epsilon/2$

$Y$は$Z$以上でなければならないが、できる限り小さくする必要があるので、$Y=Z+1$と仮定する。

このとき、 $Y+Z = Z+1+Z = 2Z+1 = 338$。

$2Z = 337$

$Z=168.5$

$Z$は整数値なので、$Z=168$を試す。

もし、$Z=168$なら、$Y=338-168=170$

$190>170>168$ が成立する。

したがって、$Z$の最大値は168円である。

3. 最終的な答え

168