7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる4個の数字を用いて4桁の整数を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 整数は全部で何個できるか？ (2) 奇数は何個できるか？ (3) 偶数は何個できるか？ (4) 5340より大きい数は何個できるか？

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる4個の数字を用いて4桁の整数を作るとき、次の問いに答えます。

(1) 整数は全部で何個できるか？

(2) 奇数は何個できるか？

(3) 偶数は何個できるか？

(4) 5340より大きい数は何個できるか？

2. 解き方の手順

(1) 整数は全部で何個できるか？

まず、千の位は0以外の数字から選ぶ必要があるので、6通りの選び方があります。次に、百の位は千の位で選んだ数字以外の数字から選ぶので、6通りの選び方があります。十の位は千の位と百の位で選んだ数字以外の数字から選ぶので、5通りの選び方があります。一の位は千の位、百の位、十の位で選んだ数字以外の数字から選ぶので、4通りの選び方があります。したがって、全部で

$6 \times 6 \times 5 \times 4 = 720$

個の整数ができます。

(2) 奇数は何個できるか？

一の位が奇数である必要があります。一の位は1, 3, 5のいずれかである必要があるので、3通りです。

千の位は0以外の数字から選ぶ必要があります。

- 一の位が1, 3, 5のいずれかの場合、千の位は0と一の位の数字以外から選ぶので、5通りです。

- 百の位は千の位と一の位で選んだ数字以外の数字から選ぶので、5通りです。

- 十の位は千の位、百の位、一の位で選んだ数字以外の数字から選ぶので、4通りです。

したがって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個の奇数ができます。

(3) 偶数は何個できるか？

全部の整数から奇数を引けば偶数の個数が分かります。

$720 - 300 = 420$個

(4) 5340より大きい数は何個できるか？

5000番台の場合

- 534_のとき、一の位は0なので、1個

- 535_, 536_のとき、一の位は0, 1, 2, 4なので、それぞれ4個。合わせて8個

- 54--, 55--, 56-- のとき、百の位と十の位は残りの数字から選ぶので、5P2 = 5 x 4 = 20個

よって、$20 \times 3 = 60$個

6000番台の場合

$6 \times 6 \times 5 \times 4 = 720$

したがって、$1 + 8 + 60 + 120 = 189$個

千の位が5のとき:

534_: 1通り (0)

535_: 0, 1, 2, 4: 4通り

536_: 0, 1, 2, 4: 4通り

54__: 5 x 4 = 20通り

55__: 5 x 4 = 20通り

56__: 5 x 4 = 20通り

千の位が6のとき

6___: 6 x 5 x 4 = 120通り

$1 + 4 + 4 + 3(5 \times 4) + 120 = 9 + 60 + 120 = 189$個

3. 最終的な答え

(1) 720個

(2) 300個

(3) 420個

(4) 189個