整式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $-1$、$x-3$ で割ると余りが $2$ であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $-1$、$x-3$ で割ると余りが $2$ であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(2) = -1$、$P(3) = 2$ が成り立つ。

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りは、1次以下の整式 $ax+b$ と表せる。

すなわち、$P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$ (ただし、$Q(x)$ は商) と表せる。

$x=2$ を代入すると、$P(2) = 2a+b = -1$ となる。

$x=3$ を代入すると、$P(3) = 3a+b = 2$ となる。

この $a, b$ についての連立方程式を解く。

$3a+b - (2a+b) = 2 - (-1)$ より、$a = 3$

$2a+b = -1$ に $a=3$ を代入すると、$6+b = -1$ より、$b = -7$

したがって、求める余りは $3x-7$ である。

3. 最終的な答え

$3x - 7$