問題は、x, y が実数であるとき、与えられた条件が、別の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断するものです。選択肢は以下の通りです。 1. 必要条件であるが十分条件ではない

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題は、x, y が実数であるとき、与えられた条件が、別の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断するものです。選択肢は以下の通りです。

1. 必要条件であるが十分条件ではない

2. 十分条件であるが必要条件ではない

3. 必要十分条件である

4. 必要条件でも十分条件でもない

各問題は以下の通りです。

(1) $x = 3$ は $x^2 - 6x + 9 = 0$ であるための？

(2) $x > 0$ かつ $y > 0$ は $x + y > 0$ であるための？

(3) $x < y$ は $x^2 < y^2$ であるための？

(4) $|x - 1| > 3$ は $x > 4$ であるための？

2. 解き方の手順

(1) $x = 3$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 3^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ となり、$x^2 - 6x + 9 = 0$ が成り立ちます。逆に、$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0$ のとき、$x = 3$ となります。したがって、$x = 3$ であることと、$x^2 - 6x + 9 = 0$ であることは同値です。

(2) $x > 0$ かつ $y > 0$ ならば、$x + y > 0$ は明らかに成り立ちます。しかし、$x + y > 0$ であっても、$x > 0$ かつ $y > 0$ とは限りません。例えば、$x = -1$、$y = 2$ のとき、$x + y = 1 > 0$ ですが、$x > 0$ かつ $y > 0$ は満たしません。したがって、$x > 0$ かつ $y > 0$ は $x + y > 0$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(3) $x < y$ ならば $x^2 < y^2$ とは限りません。例えば、$x = -2$、$y = -1$ のとき、$x < y$ ですが、$x^2 = 4$、$y^2 = 1$ であり、$x^2 > y^2$ となります。逆に、$x^2 < y^2$ ならば $x < y$ とも限りません。例えば、$x = -1$、$y = 1$ のとき、$x^2 = 1$、$y^2 = 1$ で、$x^2 = y^2$ となります。また、$x = 1$、$y = 2$の時、$x^2=1$, $y^2=4$で、$x^2<y^2$ですが、$x<y$です。したがって、$x < y$ は $x^2 < y^2$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。ただし、$x > 0$かつ$y > 0$ならば、$x<y$のとき、$x^2 < y^2$が成り立ちます。

(4) $|x - 1| > 3$ は、$x - 1 > 3$ または $x - 1 < -3$ を意味します。これは、$x > 4$ または $x < -2$ を意味します。したがって、$x > 4$ ならば $|x - 1| > 3$ は成り立ちますが、$|x - 1| > 3$ ならば必ずしも $x > 4$ とは限りません ($x < -2$ の場合があるため)。したがって、$|x - 1| > 3$ は $x > 4$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 4

(4) 1