軸が直線 $x=2$ であり、2点 $(1, 3)$ と $(5, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

軸が直線 $x=2$ であり、2点 $(1, 3)$ と $(5, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、軸が $x=2$ であることから、求める2次関数を

$y = a(x-2)^2 + b$

とおきます。

次に、与えられた2点 $(1, 3)$ と $(5, -5)$ をそれぞれこの式に代入します。

点 $(1, 3)$ を代入すると、

$3 = a(1-2)^2 + b$

$3 = a(-1)^2 + b$

$3 = a + b$

点 $(5, -5)$ を代入すると、

$-5 = a(5-2)^2 + b$

$-5 = a(3)^2 + b$

$-5 = 9a + b$

これで、$a$ と $b$ についての連立方程式

$a + b = 3$

$9a + b = -5$

が得られました。

この連立方程式を解きます。

下の式から上の式を引くと、

$(9a + b) - (a + b) = -5 - 3$

$8a = -8$

$a = -1$

これを $a + b = 3$ に代入すると、

$-1 + b = 3$

$b = 4$

したがって、$a = -1$、$b = 4$ となり、求める2次関数は

$y = -1(x-2)^2 + 4$

$y = -(x-2)^2 + 4$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4$

$y = -x^2 + 4x - 4 + 4$

$y = -x^2 + 4x$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x$