軸が直線 $x=2$ で、2点 $(1, 3)$, $(5, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

軸が直線 $x=2$ で、2点 $(1, 3)$, $(5, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

軸が $x=2$ なので、求める2次関数は

$y = a(x-2)^2 + q$

と表せる。

このグラフが点 $(1, 3)$ を通るので、

$3 = a(1-2)^2 + q$

$3 = a + q$

このグラフが点 $(5, -5)$ を通るので、

$-5 = a(5-2)^2 + q$

$-5 = 9a + q$

$3 = a + q$ と $-5 = 9a + q$ を連立方程式として解く。

$-5 = 9a + q$ から $3 = a + q$ を引くと

$-8 = 8a$

$a = -1$

$3 = -1 + q$

$q = 4$

したがって、求める2次関数は

$y = -(x-2)^2 + 4$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4$

$y = -x^2 + 4x - 4 + 4$

$y = -x^2 + 4x$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x$