頂点が点$(-2, -3)$で、点$(2, 5)$を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

頂点が点$(-2, -3)$で、点$(2, 5)$を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

頂点が分かっているので、求める2次関数は

$y = a(x - p)^2 + q$

の形でおけます。ここで、$(p, q)$は頂点の座標です。

問題文より、頂点が$(-2, -3)$なので、$p = -2$, $q = -3$となり、

$y = a(x - (-2))^2 - 3$

$y = a(x + 2)^2 - 3$

とおけます。

この放物線は点$(2, 5)$を通るので、$x = 2$, $y = 5$を代入して、$a$を求めます。

$5 = a(2 + 2)^2 - 3$

$5 = a(4)^2 - 3$

$5 = 16a - 3$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16}$

$a = \frac{1}{2}$

したがって、求める2次関数は

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 3$

となります。これを展開して整理すると、

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - 3$

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 - 3$

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$