与えられた不等式は $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge 2$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式は $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge 2$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義から、$\log_a b = c$ は $a^c = b$ と同値です。この性質を利用して、不等式を変形します。

$\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge 2$ は $(\frac{1}{2})^2 \le x-1$ となります。 底が1より小さいので、不等号の向きが変わることに注意してください。

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ であるから、

$\frac{1}{4} \le x-1$

両辺に1を足すと

$\frac{1}{4} + 1 \le x$

$\frac{5}{4} \le x$

$x \ge \frac{5}{4}$

次に、対数の真数条件から、$x-1 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 1$ である必要があります。

$x \ge \frac{5}{4}$ と $x > 1$ の両方を満たす必要があります。$\frac{5}{4} = 1.25 > 1$ なので、$x \ge \frac{5}{4}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \ge \frac{5}{4}$