全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、要素の個数 $n(U)=30$, $n(A)=12$, $n(B)=14$, $n(A \cap B)=5$ が与えられているとき、次の集合の要素の個数を求める問題です。 (1) $A \cup B$ (2) $\overline{A}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、要素の個数 $n(U)=30$, $n(A)=12$, $n(B)=14$, $n(A \cap B)=5$ が与えられているとき、次の集合の要素の個数を求める問題です。

(1) $A \cup B$

(2) $\overline{A}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ の要素の個数を求めます。集合の要素の個数に関する公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用います。

$n(A \cup B) = 12 + 14 - 5 = 21$

(2) $\overline{A}$ の要素の個数を求めます。$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で求められます。

$n(\overline{A}) = 30 - 12 = 18$

(3) $\overline{A \cap B}$ の要素の個数を求めます。$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合なので、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(\overline{A \cap B}) = 30 - 5 = 25$

(4) $A \cap \overline{B}$ の要素の個数を求めます。$A \cap \overline{B}$ は、集合 $A$ から $A \cap B$ を除いた部分を表すので、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(A \cap \overline{B}) = 12 - 5 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B) = 21$

(2) $n(\overline{A}) = 18$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 25$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 7$