41を割ると5余り、63を割ると3余り、98を割ると2余る正の整数はいくつあるか。

1. 問題の内容

41を割ると5余り、63を割ると3余り、98を割ると2余る正の整数はいくつあるか。

2. 解き方の手順

求める整数を $x$ とします。問題文より、以下のことが言えます。

* $41$ を $x$ で割ると $5$ 余るということは、$41 - 5 = 36$ が $x$ で割り切れるということ。

* $63$ を $x$ で割ると $3$ 余るということは、$63 - 3 = 60$ が $x$ で割り切れるということ。

* $98$ を $x$ で割ると $2$ 余るということは、$98 - 2 = 96$ が $x$ で割り切れるということ。

したがって、$x$ は $36, 60, 96$ の公約数です。また、$x$ は余りよりも大きい必要があります。つまり、$x > 5, x > 3, x > 2$ より、$x > 5$ である必要があります。

$36, 60, 96$ の最大公約数を求めます。

* $36 = 2^2 \times 3^2$

* $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

* $96 = 2^5 \times 3$

最大公約数は $2^2 \times 3 = 12$ です。

$12$ の約数は、$1, 2, 3, 4, 6, 12$ です。

$x > 5$ である必要があるため、$x$ の候補は $6$ と $12$ です。

したがって、求める整数は$6, 12$の2個です。

3. 最終的な答え

2個