問題は、以下の3つの独立した問題から構成されています。 問題1：整数に関する問題 (1) 2進数 $110111_{(2)}$ を10進数に変換する。 (2) 循環小数 $0.\dot{3}\dot{9}$ を分数で表す。 (3) $n$ が5の倍数でない整数のとき、$n^2$ を5で割った余りを求める。 問題2：不等式に関する問題 不等式 $7(x-2) \le 3(2x+a)$ について、 (1) $a=1$ のとき、$x$ の範囲を求める。 (2) $a=12$ のとき、不等式を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求める。 問題3：整数解に関する問題 $x(y+4) = 10$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。 (1) 10の正の約数の個数を求める。 (2) $x, y$ の組を具体的に求める。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの独立した問題から構成されています。

問題1：整数に関する問題

(1) 2進数 $110111_{(2)}$ を10進数に変換する。

(2) 循環小数 $0.\dot{3}\dot{9}$ を分数で表す。

(3) $n$ が5の倍数でない整数のとき、$n^2$ を5で割った余りを求める。

問題2：不等式に関する問題

不等式 $7(x-2) \le 3(2x+a)$ について、

(1) $a=1$ のとき、$x$ の範囲を求める。

(2) $a=12$ のとき、不等式を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求める。

問題3：整数解に関する問題

$x(y+4) = 10$ を満たす正の整数 $x, y$ の組をすべて求める。

(1) 10の正の約数の個数を求める。

(2) $x, y$ の組を具体的に求める。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 2進数から10進数への変換:

$110111_{(2)} = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 55$

(2) 循環小数を分数で表す:

$x = 0.\dot{3}\dot{9}$ とする。$100x = 39.\dot{3}\dot{9}$

$100x - x = 39.\dot{3}\dot{9} - 0.\dot{3}\dot{9}$

$99x = 39$

$x = \frac{39}{99} = \frac{13}{33}$

(3) $n$ が5の倍数でない整数のとき、$n^2$ を5で割った余り:

$n$ は $5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4$ のいずれかの形で表せる。

$n = 5k+1$ のとき, $n^2 = 25k^2 + 10k + 1$. 余りは1

$n = 5k+2$ のとき, $n^2 = 25k^2 + 20k + 4$. 余りは4

$n = 5k+3$ のとき, $n^2 = 25k^2 + 30k + 9$. 余りは4

$n = 5k+4$ のとき, $n^2 = 25k^2 + 40k + 16$. 余りは1

したがって、余りは1または4

問題2：

(1) $a=1$ のとき:

$7(x-2) \le 3(2x+1)$

$7x - 14 \le 6x + 3$

$x \le 17$

(2) $a=12$ のとき:

$7(x-2) \le 3(2x+12)$

$7x - 14 \le 6x + 36$

$x \le 50$

2桁の自然数は10から99までなので、$10 \le x \le 50$ を満たす整数 $x$ の個数は $50 - 10 + 1 = 41$個

問題3：

(1) 10の正の約数の個数:

10 = 2 * 5 なので、約数は 1, 2, 5, 10。よって4個。

(2) $x(y+4) = 10$ を満たす $x, y$ の組:

$x$ は10の約数なので、$x = 1, 2, 5, 10$

$x=1$ のとき $y+4 = 10$, $y=6$

$x=2$ のとき $y+4 = 5$, $y=1$

$x=5$ のとき $y+4 = 2$, $y=-2$　(不適)

$x=10$ のとき $y+4 = 1$, $y=-3$ (不適)

よって、$(x,y) = (1, 6), (2, 1)$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 55

(2) $\frac{13}{33}$

(3) 1, 4

問題2：

(1) 17

(2) 41

問題3：

(1) 4

(2) $(1, 6)$, $(2, 1)$