問題は次の2つです。 (1) $\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{9}, \sqrt[7]{27}$ の大小を不等号を用いて表せ。 (2) $\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt[3]{\frac{1}{4}}, \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の大小を不等号を用いて表せ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

問題は次の2つです。

(1) $\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{9}, \sqrt[7]{27}$ の大小を不等号を用いて表せ。

(2) $\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt[3]{\frac{1}{4}}, \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 3つの数を指数表示に変換し、指数部分を比較することで大小関係を決定します。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[7]{27} = \sqrt[7]{3^3} = 3^{\frac{3}{7}}$

指数部分 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{7}$ の大小を比較します。

通分すると、 $\frac{14}{42}, \frac{21}{42}, \frac{18}{42}$ となります。

したがって、$\frac{1}{3} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2}$ です。

よって、$3^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{3}{7}} < 3^{\frac{1}{2}}$ となります。

(2) 同様に指数表示に変換し、指数部分を比較します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2^2})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2^3})^{\frac{1}{4}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}$

指数部分 $-\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, -\frac{3}{4}$ の大小を比較します。

通分すると $-\frac{6}{12}, -\frac{8}{12}, -\frac{9}{12}$ となります。

したがって、$-\frac{1}{2} > -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}$ です。

よって、$2^{-\frac{1}{2}} < 2^{-\frac{2}{3}} < 2^{-\frac{3}{4}}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{3} < \sqrt[7]{27} < \sqrt[4]{9}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt[3]{\frac{1}{4}} > \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$