5人の男子と6人の女子の中から4人を選ぶとき、男子も女子も含まれる組は何組あるか。 4で割ると3余り、6で割ると5余り、10で割ると9余る数の中で最も小さい自然数はいくつか。

1. 問題の内容

5人の男子と6人の女子の中から4人を選ぶとき、男子も女子も含まれる組は何組あるか。

4で割ると3余り、6で割ると5余り、10で割ると9余る数の中で最も小さい自然数はいくつか。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：

まず、4人を選ぶ全ての組み合わせを計算します。これは、11人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{11}C_4$です。

次に、4人全員が男子の場合と、4人全員が女子の場合の組み合わせを計算します。

4人全員が男子の場合、$_{5}C_4$通りです。

4人全員が女子の場合、$_{6}C_4$通りです。

求める組み合わせは、全ての組み合わせから、全員が男子の場合と全員が女子の場合を引いたものです。

$_{11}C_4 = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$

$_{5}C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

$_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、男子も女子も含まれる組の数は$330 - 5 - 15 = 310$通りです。

二つ目の問題：

求める数を$x$とします。

$x$は、4で割ると3余るので、$x = 4a + 3$（$a$は整数）と表せます。

$x$は、6で割ると5余るので、$x = 6b + 5$（$b$は整数）と表せます。

$x$は、10で割ると9余るので、$x = 10c + 9$（$c$は整数）と表せます。

$x + 1$を考えると、

$x + 1 = 4a + 4 = 4(a+1)$

$x + 1 = 6b + 6 = 6(b+1)$

$x + 1 = 10c + 10 = 10(c+1)$

つまり、$x + 1$は4, 6, 10の公倍数です。4, 6, 10の最小公倍数は60です。

したがって、$x + 1 = 60k$（$k$は整数）と表せます。

$x = 60k - 1$

$k = 1$のとき、$x = 59$

$k = 2$のとき、$x = 119$

$x$は自然数なので、最も小さい自然数は59です。

3. 最終的な答え

一つ目の問題：310

二つ目の問題：59