問題は、以下の2つの式を展開し、整理することです。 (7) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ (8) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの式を展開し、整理することです。

(7) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$

(8) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

2. 解き方の手順

(7) の場合：

まず、式を展開します。

$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) = ab^2-ac^2+bc^2-ba^2+ca^2-cb^2$

次に、整理します。

$ab^2-ac^2+bc^2-ba^2+ca^2-cb^2 = ab^2-ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2$

$= ab(b-a) + ac(a-c) + bc(c-b)$

$= -ab(a-b) - ac(c-a) - bc(b-c)$

$= -ab(a-b) + ac(a-c) + bc(c-b)$

$= -ab(a-b) + a^2c - ac^2 + bc^2 - b^2c$

$= -ab(a-b) + ac(a-b) - ac(c-b) + bc(c-b)$

$= ac(a-b) - ab(a-b) + bc(c-b) - ac(c-b)$

$= (a-b)(ac-ab) + (c-b)(bc-ac)$

$= a(a-b)(c-b) - c(b-c)(a-b)$

$= (a-b)(c-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

(8) の場合：

まず、式を展開します。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$

$= a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)[a^2 - ab - ac + bc]$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(8) $-(a-b)(b-c)(c-a)$