全体集合を $U = \{x \mid -4 \le x \le 6, x \text{ は整数}\}$ とし、部分集合を $A = \{2, a-1, a\}$, $B = \{-4, a-3, 10-a\}$ とする。$A \cap B = \{2, 5\}$ となるように定数 $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A} \cap B$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合を $U = \{x \mid -4 \le x \le 6, x \text{ は整数}\}$ とし、部分集合を $A = \{2, a-1, a\}$, $B = \{-4, a-3, 10-a\}$ とする。$A \cap B = \{2, 5\}$ となるように定数 $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A} \cap B$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き下すと、

$U = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ である。

$A \cap B = \{2, 5\}$ であることから、$2 \in A$ かつ $2 \in B$ であり、$5 \in A$ かつ $5 \in B$ である。また、$A$ と $B$ には $2$ と $5$ 以外の共通の要素はない。

まず、$A$ に注目すると、$A = \{2, a-1, a\}$ であり、$A$ は $2$ を含む。

$5 \in A$ なので、$a-1 = 5$ または $a = 5$ である。

(i) $a-1 = 5$ のとき、$a = 6$ である。

このとき、$A = \{2, 5, 6\}$、$B = \{-4, 3, 4\}$ となる。

このとき、$A \cap B = \emptyset$ となり、$A \cap B = \{2, 5\}$ に矛盾する。

(ii) $a = 5$ のとき、$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ となる。

このとき、$A \cap B = \{2, 5\}$ となり、条件を満たす。

したがって、$a = 5$ である。

$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ なので、

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$ となる。

$A \cup B$ の補集合を $\overline{A \cup B}$ とすると、

$\overline{A \cup B} = U \setminus (A \cup B) = \{-3, -2, -1, 0, 1, 3, 6\}$ となる。

次に、$\overline{A}$ を求めると、$\overline{A} = U \setminus A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 6\}$ である。

最後に、$\overline{A} \cap B$ を求めると、

$\overline{A} \cap B = \{-4, 2, 5\} \cap \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 6\} = \{-4\}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$

$\overline{A} \cap B = \{-4\}$