$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$ , $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x+y$ の値を $A\sqrt{B}$ の形で求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$ , $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x+y$ の値を $A\sqrt{B}$ の形で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{11}-\sqrt{10}$ を掛けます。

$y$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{11}+\sqrt{10}$ を掛けます。

したがって、

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}-\sqrt{10}$

$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}+\sqrt{10}$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{11}-\sqrt{10}) + (\sqrt{11}+\sqrt{10}) = \sqrt{11} - \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{10} = 2\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$x+y = 2\sqrt{11}$