初項が1である等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2である等比数列 $\{b_n\}$ がある。数列 $\{c_n\}$ を $c_n = a_n + b_n$ と定義し、$c_2 = 6$, $c_3 = 11$, $c_4 = 20$ が与えられている。このとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

初項が1である等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2である等比数列 $\{b_n\}$ がある。数列 $\{c_n\}$ を $c_n = a_n + b_n$ と定義し、$c_2 = 6$, $c_3 = 11$, $c_4 = 20$ が与えられている。このとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ は初項1の等差数列なので、$a_n = 1 + (n-1)d = nd - d + 1$ と表せる。ここで $d$ は公差である。

数列 $\{b_n\}$ は初項2の等比数列なので、$b_n = 2r^{n-1}$ と表せる。ここで $r$ は公比である。

したがって、$c_n = a_n + b_n = nd - d + 1 + 2r^{n-1}$ となる。

与えられた条件から、$c_2 = 6$, $c_3 = 11$, $c_4 = 20$ なので、以下の3つの式が得られる。

$c_2 = 2d - d + 1 + 2r = d + 1 + 2r = 6$

$c_3 = 3d - d + 1 + 2r^2 = 2d + 1 + 2r^2 = 11$

$c_4 = 4d - d + 1 + 2r^3 = 3d + 1 + 2r^3 = 20$

これらの式を整理すると、

$d + 2r = 5$ (1)

$2d + 2r^2 = 10$ (2)

$3d + 2r^3 = 19$ (3)

(1)より $d = 5 - 2r$ であるから、これを(2)と(3)に代入する。

$2(5 - 2r) + 2r^2 = 10 \implies 10 - 4r + 2r^2 = 10 \implies 2r^2 - 4r = 0 \implies 2r(r - 2) = 0$

$r=0$ または $r=2$ が得られる。$r=0$のとき、$b_n = 0$ となり、$c_n = a_n$ は等差数列になるはずだが、$c_2 = 6, c_3 = 11, c_4 = 20$ は等差数列ではないので、$r=0$ は不適である。したがって、$r = 2$ である。

このとき、$d = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$ となる。

したがって、$a_n = n(1) - 1 + 1 = n$ であり、$b_n = 2(2^{n-1}) = 2^n$ である。

よって、$c_n = a_n + b_n = n + 2^n$ となる。

3. 最終的な答え

$c_n = n + 2^n$