$x \ge 3$, $y \ge \frac{1}{3}$, $xy=27$ のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値を求める問題です。

代数学対数最大・最小不等式関数の最大最小二次関数
2025/5/17

1. 問題の内容

x3x \ge 3, y13y \ge \frac{1}{3}, xy=27xy=27 のとき、(log3x)(log3y)(\log_3 x)(\log_3 y) の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、xy=27xy=27 より、y=27xy = \frac{27}{x} となります。
これを y13y \ge \frac{1}{3} に代入すると、
27x13\frac{27}{x} \ge \frac{1}{3}
x81x \le 81
よって、3x813 \le x \le 81 が得られます。
次に、f(x)=(log3x)(log3y)=(log3x)(log327x)=(log3x)(log327log3x)=(log3x)(3log3x)f(x) = (\log_3 x)(\log_3 y) = (\log_3 x)(\log_3 \frac{27}{x}) = (\log_3 x)(\log_3 27 - \log_3 x) = (\log_3 x)(3 - \log_3 x) とおきます。
t=log3xt = \log_3 x とすると、
3x813 \le x \le 81 より、log33log3xlog381\log_3 3 \le \log_3 x \le \log_3 81
1t41 \le t \le 4
となります。
f(x)f(x)tt で表すと、
g(t)=t(3t)=t2+3t=(t32)2+94g(t) = t(3-t) = -t^2 + 3t = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} となります。
1t41 \le t \le 4 の範囲で、g(t)g(t) の最大値と最小値を求めます。
g(t)g(t) は上に凸な放物線で、軸は t=32t = \frac{3}{2} です。
よって、最大値は t=32t = \frac{3}{2} のとき、g(32)=94g(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} となります。
最小値は、t=1t=1 または t=4t=4 のときに起こります。
g(1)=1(31)=2g(1) = 1(3-1) = 2
g(4)=4(34)=4g(4) = 4(3-4) = -4
よって、最小値は t=4t=4 のとき、g(4)=4g(4) = -4 となります。

3. 最終的な答え

最大値:94\frac{9}{4}
最小値:4-4

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