$x \ge 3$, $y \ge \frac{1}{3}$, $xy=27$ のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \ge 3$, $y \ge \frac{1}{3}$, $xy=27$ のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$xy=27$ より、$y = \frac{27}{x}$ となります。

これを $y \ge \frac{1}{3}$ に代入すると、

$\frac{27}{x} \ge \frac{1}{3}$

$x \le 81$

よって、$3 \le x \le 81$ が得られます。

次に、$f(x) = (\log_3 x)(\log_3 y) = (\log_3 x)(\log_3 \frac{27}{x}) = (\log_3 x)(\log_3 27 - \log_3 x) = (\log_3 x)(3 - \log_3 x)$ とおきます。

$t = \log_3 x$ とすると、

$3 \le x \le 81$ より、$\log_3 3 \le \log_3 x \le \log_3 81$

$1 \le t \le 4$

となります。

$f(x)$ を $t$ で表すと、

$g(t) = t(3-t) = -t^2 + 3t = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$ となります。

$1 \le t \le 4$ の範囲で、$g(t)$ の最大値と最小値を求めます。

$g(t)$ は上に凸な放物線で、軸は $t = \frac{3}{2}$ です。

よって、最大値は $t = \frac{3}{2}$ のとき、$g(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$ となります。

最小値は、$t=1$ または $t=4$ のときに起こります。

$g(1) = 1(3-1) = 2$

$g(4) = 4(3-4) = -4$

よって、最小値は $t=4$ のとき、$g(4) = -4$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{9}{4}$

最小値：$-4$