$x \ge 3$, $y \ge \frac{1}{3}$, $xy=27$ のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値を求める問題です。
2025/5/17
1. 問題の内容
, , のとき、 の最大値と最小値を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 より、 となります。
これを に代入すると、
よって、 が得られます。
次に、 とおきます。
とすると、
より、
となります。
を で表すと、
となります。
の範囲で、 の最大値と最小値を求めます。
は上に凸な放物線で、軸は です。
よって、最大値は のとき、 となります。
最小値は、 または のときに起こります。
よって、最小値は のとき、 となります。
3. 最終的な答え
最大値:
最小値: