$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$ (5) $x^3 + y^3$ (6) $x^5y^2 + x^2y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

(5) $x^3 + y^3$

(6) $x^5y^2 + x^2y^5$

2. 解き方の手順

まず、$x+y$と$xy$の値を計算する。これらは後の計算で頻繁に利用する。

(1) $x + y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$

(4) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(5) $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x^2 + y^2) - xy) = \sqrt{7}(6 - \frac{1}{2}) = \sqrt{7} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11\sqrt{7}}{2}$

(6) $x^5y^2 + x^2y^5 = x^2y^2(x^3 + y^3) = (xy)^2(x^3 + y^3) = (\frac{1}{2})^2(\frac{11\sqrt{7}}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{11\sqrt{7}}{2} = \frac{11\sqrt{7}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 6$

(4) $x^3y + xy^3 = 3$

(5) $x^3 + y^3 = \frac{11\sqrt{7}}{2}$

(6) $x^5y^2 + x^2y^5 = \frac{11\sqrt{7}}{8}$