与えられた分数式 $\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1}$ を計算し、簡略化する問題です。

代数学分数式因数分解式の簡略化
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた分数式 x2(y1)2(x+y)21\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1} を計算し、簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。
分子 x2(y1)2x^2 - (y-1)^2 は、差の二乗の因数分解 a2b2=(a+b)(ab)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) を用いて、以下のように分解できます。
x2(y1)2=(x+(y1))(x(y1))=(x+y1)(xy+1)x^2 - (y-1)^2 = (x + (y-1))(x - (y-1)) = (x+y-1)(x-y+1)
次に、分母 (x+y)21(x+y)^2 - 1 も同様に差の二乗の因数分解を用いて、以下のように分解できます。
(x+y)21=(x+y+1)(x+y1)(x+y)^2 - 1 = (x+y+1)(x+y-1)
したがって、分数式は
x2(y1)2(x+y)21=(x+y1)(xy+1)(x+y+1)(x+y1)\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1} = \frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)}
となります。ここで、x+y10x+y-1 \neq 0 であると仮定すれば、分子と分母の共通因子 x+y1x+y-1 を約分できます。
(x+y1)(xy+1)(x+y+1)(x+y1)=xy+1x+y+1\frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)} = \frac{x-y+1}{x+y+1}

3. 最終的な答え

xy+1x+y+1\frac{x-y+1}{x+y+1}

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