与えられた分数式 $\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1}$ を計算し、簡略化する問題です。代数学分数式因数分解式の簡略化2025/5/171. 問題の内容与えられた分数式 x2−(y−1)2(x+y)2−1\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1}(x+y)2−1x2−(y−1)2 を計算し、簡略化する問題です。2. 解き方の手順まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。分子 x2−(y−1)2x^2 - (y-1)^2x2−(y−1)2 は、差の二乗の因数分解 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b) を用いて、以下のように分解できます。x2−(y−1)2=(x+(y−1))(x−(y−1))=(x+y−1)(x−y+1)x^2 - (y-1)^2 = (x + (y-1))(x - (y-1)) = (x+y-1)(x-y+1)x2−(y−1)2=(x+(y−1))(x−(y−1))=(x+y−1)(x−y+1)次に、分母 (x+y)2−1(x+y)^2 - 1(x+y)2−1 も同様に差の二乗の因数分解を用いて、以下のように分解できます。(x+y)2−1=(x+y+1)(x+y−1)(x+y)^2 - 1 = (x+y+1)(x+y-1)(x+y)2−1=(x+y+1)(x+y−1)したがって、分数式はx2−(y−1)2(x+y)2−1=(x+y−1)(x−y+1)(x+y+1)(x+y−1)\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1} = \frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)}(x+y)2−1x2−(y−1)2=(x+y+1)(x+y−1)(x+y−1)(x−y+1)となります。ここで、x+y−1≠0x+y-1 \neq 0x+y−1=0 であると仮定すれば、分子と分母の共通因子 x+y−1x+y-1x+y−1 を約分できます。(x+y−1)(x−y+1)(x+y+1)(x+y−1)=x−y+1x+y+1\frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)} = \frac{x-y+1}{x+y+1}(x+y+1)(x+y−1)(x+y−1)(x−y+1)=x+y+1x−y+13. 最終的な答えx−y+1x+y+1\frac{x-y+1}{x+y+1}x+y+1x−y+1