与えられた分数式 $\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1}$ を計算し、簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1}$ を計算し、簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。

分子 $x^2 - (y-1)^2$ は、差の二乗の因数分解 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いて、以下のように分解できます。

$x^2 - (y-1)^2 = (x + (y-1))(x - (y-1)) = (x+y-1)(x-y+1)$

次に、分母 $(x+y)^2 - 1$ も同様に差の二乗の因数分解を用いて、以下のように分解できます。

$(x+y)^2 - 1 = (x+y+1)(x+y-1)$

したがって、分数式は

$\frac{x^2 - (y-1)^2}{(x+y)^2 - 1} = \frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)}$

となります。ここで、$x+y-1 \neq 0$ であると仮定すれば、分子と分母の共通因子 $x+y-1$ を約分できます。

$\frac{(x+y-1)(x-y+1)}{(x+y+1)(x+y-1)} = \frac{x-y+1}{x+y+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-y+1}{x+y+1}$