与えられた連分数を簡約化する問題です。連分数は次のように表されます。 $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

1. 問題の内容

与えられた連分数を簡約化する問題です。連分数は次のように表されます。

$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

2. 解き方の手順

連分数を下から順に簡略化していきます。

まず、一番下の分数 $2 + \frac{1}{x}$ を簡約化します。

$2 + \frac{1}{x} = \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2x+1}{x}$

次に、その上の分数 $\frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$ を簡約化します。

$\frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{2x+1}{x}} = \frac{x}{2x+1}$

さらに、その上の分数 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$ を簡約化します。

$2 + \frac{x}{2x+1} = \frac{2(2x+1)}{2x+1} + \frac{x}{2x+1} = \frac{4x+2+x}{2x+1} = \frac{5x+2}{2x+1}$

最後に、一番上の分数 $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$ を簡約化します。

$1 + \frac{1}{\frac{5x+2}{2x+1}} = 1 + \frac{2x+1}{5x+2} = \frac{5x+2}{5x+2} + \frac{2x+1}{5x+2} = \frac{5x+2+2x+1}{5x+2} = \frac{7x+3}{5x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7x+3}{5x+2}$