(1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$ の和 $S_n$ を求める。 (2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n$ (ただし、$r \neq 1$) の和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$ の和 $S_n$ を求める。

(2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n$ (ただし、$r \neq 1$) の和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

この和を求めるために、$3S_n$を計算する。

$3S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

次に、$S_n - 3S_n$ を計算する。

$S_n - 3S_n = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

等比数列の和の公式より、 $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

$-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S_n = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2} = \frac{(1-2n)3^n - 1}{2}$

$S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

(2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n$

この和を求めるために、$rS_n$を計算する。

$rS_n = 1 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + 5 \cdot r^4 + \dots + (2n-3) \cdot r^n + (2n-1) \cdot r^{n+1}$

次に、$S_n - rS_n$ を計算する。

$S_n - rS_n = (1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + \dots + (2n-1) \cdot r^n) - (1 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + 5 \cdot r^4 + \dots + (2n-3) \cdot r^n + (2n-1) \cdot r^{n+1})$

$(1-r)S_n = r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + \dots + 2r^n - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = r + 2r^2(1 + r + r^2 + \dots + r^{n-2}) - (2n-1)r^{n+1}$

等比数列の和の公式より、$1 + r + r^2 + \dots + r^{n-2} = \frac{1(r^{n-1} - 1)}{r-1} = \frac{r^{n-1} - 1}{r-1}$

$(1-r)S_n = r + 2r^2 \frac{r^{n-1} - 1}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = r + \frac{2r^{n+1} - 2r^2}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = \frac{r(r-1) + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+1}(r-1)}{r-1}$

$(1-r)S_n = \frac{r^2 - r + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+2} + (2n-1)r^{n+1}}{r-1}$

$(1-r)S_n = \frac{-r^2 - r + (2n)r^{n+1} - (2n-1)r^{n+2}}{r-1}$

$S_n = \frac{-r^2 + r + (2n-1)r^{n+2} - (2n+1)r^{n+1}}{(r-1)^2}$

$S_n = \frac{r - r^2 - (2n+1)r^{n+1} + (2n-1)r^{n+2}}{(r-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

(2) $S_n = \frac{r - r^2 - (2n+1)r^{n+1} + (2n-1)r^{n+2}}{(r-1)^2}$