(1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$ の和 $S_n$ を求める。 (2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n$ (ただし、$r \neq 1$) の和 $S_n$ を求める。

代数学級数数列等比数列和の公式
2025/5/17

1. 問題の内容

(1) Sn=11+23+332+433++n3n1S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1} の和 SnS_n を求める。
(2) Sn=1r+3r2+5r3+7r4++(2n1)rnS_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n (ただし、r1r \neq 1) の和 SnS_n を求める。

2. 解き方の手順

(1) Sn=11+23+332+433++n3n1S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}
この和を求めるために、3Sn3S_nを計算する。
3Sn=13+232+333++(n1)3n1+n3n3S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n
次に、Sn3SnS_n - 3S_n を計算する。
Sn3Sn=(11+23+332++n3n1)(13+232+333++(n1)3n1+n3n)S_n - 3S_n = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)
2Sn=1+3+32+33++3n1n3n-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n
等比数列の和の公式より、 1+3+32+33++3n1=1(3n1)31=3n121 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}
2Sn=3n12n3n-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n
2Sn=3n12n3n2=(12n)3n12-2S_n = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2} = \frac{(1-2n)3^n - 1}{2}
Sn=(2n1)3n+14S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}
(2) Sn=1r+3r2+5r3+7r4++(2n1)rnS_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \dots + (2n-1) \cdot r^n
この和を求めるために、rSnrS_nを計算する。
rSn=1r2+3r3+5r4++(2n3)rn+(2n1)rn+1rS_n = 1 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + 5 \cdot r^4 + \dots + (2n-3) \cdot r^n + (2n-1) \cdot r^{n+1}
次に、SnrSnS_n - rS_n を計算する。
SnrSn=(1r+3r2+5r3++(2n1)rn)(1r2+3r3+5r4++(2n3)rn+(2n1)rn+1)S_n - rS_n = (1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + \dots + (2n-1) \cdot r^n) - (1 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + 5 \cdot r^4 + \dots + (2n-3) \cdot r^n + (2n-1) \cdot r^{n+1})
(1r)Sn=r+2r2+2r3+2r4++2rn(2n1)rn+1(1-r)S_n = r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + \dots + 2r^n - (2n-1)r^{n+1}
(1r)Sn=r+2r2(1+r+r2++rn2)(2n1)rn+1(1-r)S_n = r + 2r^2(1 + r + r^2 + \dots + r^{n-2}) - (2n-1)r^{n+1}
等比数列の和の公式より、1+r+r2++rn2=1(rn11)r1=rn11r11 + r + r^2 + \dots + r^{n-2} = \frac{1(r^{n-1} - 1)}{r-1} = \frac{r^{n-1} - 1}{r-1}
(1r)Sn=r+2r2rn11r1(2n1)rn+1(1-r)S_n = r + 2r^2 \frac{r^{n-1} - 1}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}
(1r)Sn=r+2rn+12r2r1(2n1)rn+1(1-r)S_n = r + \frac{2r^{n+1} - 2r^2}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}
(1r)Sn=r(r1)+2rn+12r2(2n1)rn+1(r1)r1(1-r)S_n = \frac{r(r-1) + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+1}(r-1)}{r-1}
(1r)Sn=r2r+2rn+12r2(2n1)rn+2+(2n1)rn+1r1(1-r)S_n = \frac{r^2 - r + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+2} + (2n-1)r^{n+1}}{r-1}
(1r)Sn=r2r+(2n)rn+1(2n1)rn+2r1(1-r)S_n = \frac{-r^2 - r + (2n)r^{n+1} - (2n-1)r^{n+2}}{r-1}
Sn=r2+r+(2n1)rn+2(2n+1)rn+1(r1)2S_n = \frac{-r^2 + r + (2n-1)r^{n+2} - (2n+1)r^{n+1}}{(r-1)^2}
Sn=rr2(2n+1)rn+1+(2n1)rn+2(r1)2S_n = \frac{r - r^2 - (2n+1)r^{n+1} + (2n-1)r^{n+2}}{(r-1)^2}

3. 最終的な答え

(1) Sn=(2n1)3n+14S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}
(2) Sn=rr2(2n+1)rn+1+(2n1)rn+2(r1)2S_n = \frac{r - r^2 - (2n+1)r^{n+1} + (2n-1)r^{n+2}}{(r-1)^2}

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