与えられた有理関数 $\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)}$ を部分分数分解した結果、$\frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1}$ となる。このとき、定数 A, B, C の値を求める。

代数学部分分数分解有理関数連立方程式係数比較
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた有理関数 3x2(x2+4)(x+1)\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)} を部分分数分解した結果、Ax+Bx2+4+Cx+1\frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1} となる。このとき、定数 A, B, C の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように変形する。
3x2(x2+4)(x+1)=Ax+Bx2+4+Cx+1\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1}
両辺に (x2+4)(x+1)(x^2+4)(x+1) を掛けると、
3x2=(Ax+B)(x+1)+C(x2+4)3x-2 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+4)
これを展開すると、
3x2=Ax2+Ax+Bx+B+Cx2+4C3x-2 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + 4C
同類項をまとめると、
3x2=(A+C)x2+(A+B)x+(B+4C)3x-2 = (A+C)x^2 + (A+B)x + (B+4C)
この式が任意の xx について成り立つためには、各項の係数が等しくなければならない。したがって、以下の連立方程式を得る。
A+C=0A+C = 0
A+B=3A+B = 3
B+4C=2B+4C = -2
最初の式より、A=CA = -C
これを2番目の式に代入すると、C+B=3-C+B = 3。つまり、B=C+3B = C+3
これを3番目の式に代入すると、C+3+4C=2C+3+4C = -2。つまり、5C=55C = -5
よって、C=1C = -1
A=CA = -C より、A=1A = 1
B=C+3B = C+3 より、B=1+3=2B = -1+3 = 2
したがって、A=1,B=2,C=1A=1, B=2, C=-1

3. 最終的な答え

(A, B, C) = (1, 2, -1)

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