与えられた有理関数 $\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)}$ を部分分数分解した結果、$\frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1}$ となる。このとき、定数 A, B, C の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた有理関数 $\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)}$ を部分分数分解した結果、$\frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1}$ となる。このとき、定数 A, B, C の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように変形する。

$\frac{3x-2}{(x^2+4)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $(x^2+4)(x+1)$ を掛けると、

$3x-2 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+4)$

これを展開すると、

$3x-2 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + 4C$

同類項をまとめると、

$3x-2 = (A+C)x^2 + (A+B)x + (B+4C)$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、各項の係数が等しくなければならない。したがって、以下の連立方程式を得る。

$A+C = 0$

$A+B = 3$

$B+4C = -2$

最初の式より、$A = -C$。

これを2番目の式に代入すると、$-C+B = 3$。つまり、$B = C+3$。

これを3番目の式に代入すると、$C+3+4C = -2$。つまり、$5C = -5$。

よって、$C = -1$。

$A = -C$ より、$A = 1$。

$B = C+3$ より、$B = -1+3 = 2$。

したがって、$A=1, B=2, C=-1$。

3. 最終的な答え

(A, B, C) = (1, 2, -1)