$x$を実数、$a, b$を正の定数とする。以下の3つの条件について考える。 条件p: $|2x-3| \le 4$ 条件q: $(x-1)^2 \le a$ 条件r: $(x-b)^2 \ge 1$ このとき、 (ア) 条件pを満たす$x$の値の範囲を求める。 (イ) pがqの十分条件であるとき、$a$のとりうる値の範囲を求める。 (ウ) pがrの十分条件であるとき、$b$のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$を実数、$a, b$を正の定数とする。以下の3つの条件について考える。

条件p: $|2x-3| \le 4$

条件q: $(x-1)^2 \le a$

条件r: $(x-b)^2 \ge 1$

このとき、

(ア) 条件pを満たす$x$の値の範囲を求める。

(イ) pがqの十分条件であるとき、$a$のとりうる値の範囲を求める。

(ウ) pがrの十分条件であるとき、$b$のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 条件p: $|2x-3| \le 4$を解く。

$-4 \le 2x-3 \le 4$

$-1 \le 2x \le 7$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

(イ) 条件q: $(x-1)^2 \le a$を解く。

$-\sqrt{a} \le x-1 \le \sqrt{a}$

$1-\sqrt{a} \le x \le 1+\sqrt{a}$

pがqの十分条件なので、pを満たす$x$の範囲がqを満たす$x$の範囲に含まれる必要がある。

すなわち、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ が $1-\sqrt{a} \le x \le 1+\sqrt{a}$ に含まれる。

$1-\sqrt{a} \le -\frac{1}{2}$ かつ $\frac{7}{2} \le 1+\sqrt{a}$

$\frac{3}{2} \le \sqrt{a}$ かつ $\frac{5}{2} \le \sqrt{a}$

$\sqrt{a} \ge \frac{5}{2}$

$a \ge \frac{25}{4}$

(ウ) 条件r: $(x-b)^2 \ge 1$を解く。

$x-b \ge 1$ または $x-b \le -1$

$x \ge b+1$ または $x \le b-1$

pがrの十分条件なので、pを満たす$x$の範囲がrを満たす$x$の範囲に含まれる。

すなわち、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ が $x \ge b+1$ または $x \le b-1$ に含まれる。

これは、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ の範囲内に、$x \ge b+1$ と $x \le b-1$ の両方が存在しないといけないことを意味する。言い換えると、

$b+1 > \frac{7}{2}$ または $b-1 < -\frac{1}{2}$ であれば、pを満たす$x$の範囲はrを満たす$x$の範囲に含まれないことになる。

pがrの十分条件であるためには、 $-\frac{1}{2} \le b-1$ かつ $b+1 \le \frac{7}{2}$ が必要である。

$\frac{1}{2} \le b$ かつ $b \le \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2} \le b \le \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(ア) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

(イ) $a \ge \frac{25}{4}$

(ウ) $\frac{1}{2} \le b \le \frac{5}{2}$