数列 1, 2, 5, 14, 41, ... の階差数列の第 k 項を求め、もとの数列の第 n 項を求めます。

1. 問題の内容

数列 1, 2, 5, 14, 41, ... の階差数列の第 k 項を求め、もとの数列の第 n 項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を求める：

元の数列を ${a_n}$ とします。

$a_1 = 1$

$a_2 = 2$

$a_3 = 5$

$a_4 = 14$

$a_5 = 41$

階差数列 ${b_n}$ は、${b_n = a_{n+1} - a_n}$ で与えられます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 14 - 5 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 41 - 14 = 27$

したがって、階差数列は 1, 3, 9, 27, ... となります。

これは初項1、公比3の等比数列なので、$b_k = 3^{k-1}$

(2) もとの数列の第n項を求める：

数列 ${a_n}$ の第n項は、${a_1}$ と階差数列 ${b_k}$ の和で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

等比数列の和の公式を使うと

$a_n = 1 + \frac{1(3^{n-1}-1)}{3-1}$

$a_n = 1 + \frac{3^{n-1}-1}{2}$

$a_n = \frac{2}{2} + \frac{3^{n-1}-1}{2}$

$a_n = \frac{3^{n-1}+1}{2}$

3. 最終的な答え

階差数列の第k項: $3^{k-1}$

もとの数列の第n項: $\frac{3^{n-1}+1}{2}$