数列 1, 2, 5, 14, 41, ... の階差数列の第 k 項を求め、もとの数列の第 n 項を求めます。

代数学数列階差数列等比数列数列の一般項
2025/5/17

1. 問題の内容

数列 1, 2, 5, 14, 41, ... の階差数列の第 k 項を求め、もとの数列の第 n 項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を求める:
元の数列を an{a_n} とします。
a1=1a_1 = 1
a2=2a_2 = 2
a3=5a_3 = 5
a4=14a_4 = 14
a5=41a_5 = 41
階差数列 bn{b_n} は、bn=an+1an{b_n = a_{n+1} - a_n} で与えられます。
b1=a2a1=21=1b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1
b2=a3a2=52=3b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3
b3=a4a3=145=9b_3 = a_4 - a_3 = 14 - 5 = 9
b4=a5a4=4114=27b_4 = a_5 - a_4 = 41 - 14 = 27
したがって、階差数列は 1, 3, 9, 27, ... となります。
これは初項1、公比3の等比数列なので、bk=3k1b_k = 3^{k-1}
(2) もとの数列の第n項を求める:
数列 an{a_n} の第n項は、a1{a_1} と階差数列 bk{b_k} の和で表されます。
an=a1+k=1n1bka_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k
an=1+k=1n13k1a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}
等比数列の和の公式を使うと
an=1+1(3n11)31a_n = 1 + \frac{1(3^{n-1}-1)}{3-1}
an=1+3n112a_n = 1 + \frac{3^{n-1}-1}{2}
an=22+3n112a_n = \frac{2}{2} + \frac{3^{n-1}-1}{2}
an=3n1+12a_n = \frac{3^{n-1}+1}{2}

3. 最終的な答え

階差数列の第k項: 3k13^{k-1}
もとの数列の第n項: 3n1+12\frac{3^{n-1}+1}{2}

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