2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられた図のようになっているとき、以下の値の符号を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $c$ (4) $b^2 - 4ac$ (5) $3a + 3b + 3c$

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられた図のようになっているとき、以下の値の符号を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $c$

(4) $b^2 - 4ac$

(5) $3a + 3b + 3c$

2. 解き方の手順

(1) $a$ の符号：

グラフは上に凸であるため、$a < 0$

(2) $b$ の符号：

軸の位置は、$x = -\frac{b}{2a}$ で与えられます。

グラフより、軸は $x>0$ の範囲にあるので、$-\frac{b}{2a} > 0$ です。

$a < 0$ なので、両辺に $-2a$ を掛けると、不等号の向きが変わって $b < 0$ となります。

(3) $c$ の符号：

$y$切片は、$x=0$ のときの $y$ の値なので、$y = a(0)^2 + b(0) + c = c$ となります。

グラフより、$y$切片は正の値を取るので、$c > 0$ です。

(4) $b^2 - 4ac$ の符号：

判別式 $D = b^2 - 4ac$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の個数を決定します。

グラフは $x$ 軸と2点で交わっているので、実数解は2つ存在します。

したがって、$D = b^2 - 4ac > 0$ です。

(5) $3a + 3b + 3c$ の符号：

$x = 3$ のときの $y$ の値は、$y = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$

グラフから、$x=1$のとき、$y=0$である。

$f(x)=ax^2+bx+c$とすると、$y=f(x)$のグラフは$x=0$から$x=1$の区間で$y>0$、$x>1$で$y<0$である。

$f(3)=9a+3b+c$である。

$3a+3b+3c=3(a+b+c)$

$x=1$のとき、$y=0$なので、$y = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$

よって、$3a + 3b + 3c = 3(a+b+c) = 3(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$（負）

(2) $b < 0$（負）

(3) $c > 0$（正）

(4) $b^2 - 4ac > 0$（正）

(5) $3a + 3b + 3c = 0$（ゼロ）