(1) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算する。 (2) $(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$ を計算する。代数学展開多項式2025/5/171. 問題の内容(1) (a+b+c)2−(b+c−a)2+(c+a−b)2−(a+b−c)2(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2(a+b+c)2−(b+c−a)2+(c+a−b)2−(a+b−c)2 を計算する。(2) (a−b+c)(a2+b2+c2+ab+bc−ca)(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)(a−b+c)(a2+b2+c2+ab+bc−ca) を計算する。2. 解き方の手順(1)各項を展開して整理する。(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(b+c−a)2=b2+c2+a2+2bc−2ca−2ab(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab(b+c−a)2=b2+c2+a2+2bc−2ca−2ab(c+a−b)2=c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc(c+a−b)2=c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca与式に代入すると、(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)−(b2+c2+a2+2bc−2ca−2ab)+(c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc)−(a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab) + (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)−(b2+c2+a2+2bc−2ca−2ab)+(c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc)−(a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca)=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca−b2−c2−a2−2bc+2ca+2ab+c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc−a2−b2−c2−2ab+2bc+2ca= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - b^2 - c^2 - a^2 - 2bc + 2ca + 2ab + c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca−b2−c2−a2−2bc+2ca+2ab+c2+a2+b2+2ca−2ab−2bc−a2−b2−c2−2ab+2bc+2ca=4ab+4ca+4ca−4ab=8ca= 4ab + 4ca + 4ca - 4ab = 8ca=4ab+4ca+4ca−4ab=8ca=4ac+4ac=8ac= 4ac + 4ac = 8ac=4ac+4ac=8ac(2)展開して整理する。(a−b+c)(a2+b2+c2+ab+bc−ca)(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)(a−b+c)(a2+b2+c2+ab+bc−ca)=a(a2+b2+c2+ab+bc−ca)−b(a2+b2+c2+ab+bc−ca)+c(a2+b2+c2+ab+bc−ca)= a(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) - b(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) + c(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)=a(a2+b2+c2+ab+bc−ca)−b(a2+b2+c2+ab+bc−ca)+c(a2+b2+c2+ab+bc−ca)=a3+ab2+ac2+a2b+abc−ca2−a2b−b3−bc2−ab2−b2c+abc+a2c+b2c+c3+abc+bc2−c2a= a^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + abc - ca^2 - a^2b - b^3 - bc^2 - ab^2 - b^2c + abc + a^2c + b^2c + c^3 + abc + bc^2 - c^2a=a3+ab2+ac2+a2b+abc−ca2−a2b−b3−bc2−ab2−b2c+abc+a2c+b2c+c3+abc+bc2−c2a=a3−b3+c3+3abc= a^3 - b^3 + c^3 + 3abc=a3−b3+c3+3abc3. 最終的な答え(1) 8ac8ac8ac(2) a3−b3+c3+3abca^3 - b^3 + c^3 + 3abca3−b3+c3+3abc