(1) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算する。 (2) $(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$ を計算する。

代数学展開多項式
2025/5/17

1. 問題の内容

(1) (a+b+c)2(b+ca)2+(c+ab)2(a+bc)2(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2 を計算する。
(2) (ab+c)(a2+b2+c2+ab+bcca)(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) を計算する。

2. 解き方の手順

(1)
各項を展開して整理する。
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
(b+ca)2=b2+c2+a2+2bc2ca2ab(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab
(c+ab)2=c2+a2+b2+2ca2ab2bc(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc
(a+bc)2=a2+b2+c2+2ab2bc2ca(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca
与式に代入すると、
(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)(b2+c2+a2+2bc2ca2ab)+(c2+a2+b2+2ca2ab2bc)(a2+b2+c2+2ab2bc2ca)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab) + (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2cab2c2a22bc+2ca+2ab+c2+a2+b2+2ca2ab2bca2b2c22ab+2bc+2ca= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - b^2 - c^2 - a^2 - 2bc + 2ca + 2ab + c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca
=4ab+4ca+4ca4ab=8ca= 4ab + 4ca + 4ca - 4ab = 8ca
=4ac+4ac=8ac= 4ac + 4ac = 8ac
(2)
展開して整理する。
(ab+c)(a2+b2+c2+ab+bcca)(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)
=a(a2+b2+c2+ab+bcca)b(a2+b2+c2+ab+bcca)+c(a2+b2+c2+ab+bcca)= a(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) - b(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) + c(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)
=a3+ab2+ac2+a2b+abcca2a2bb3bc2ab2b2c+abc+a2c+b2c+c3+abc+bc2c2a= a^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + abc - ca^2 - a^2b - b^3 - bc^2 - ab^2 - b^2c + abc + a^2c + b^2c + c^3 + abc + bc^2 - c^2a
=a3b3+c3+3abc= a^3 - b^3 + c^3 + 3abc

3. 最終的な答え

(1) 8ac8ac
(2) a3b3+c3+3abca^3 - b^3 + c^3 + 3abc