(1) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算する。 (2) $(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算する。

(2) $(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

各項を展開して整理する。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab$

$(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

与式に代入すると、

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab) + (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - b^2 - c^2 - a^2 - 2bc + 2ca + 2ab + c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca$

$= 4ab + 4ca + 4ca - 4ab = 8ca$

$= 4ac + 4ac = 8ac$

(2)

展開して整理する。

$(a-b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$

$= a(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) - b(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca) + c(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc - ca)$

$= a^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + abc - ca^2 - a^2b - b^3 - bc^2 - ab^2 - b^2c + abc + a^2c + b^2c + c^3 + abc + bc^2 - c^2a$

$= a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$

3. 最終的な答え

(1) $8ac$

(2) $a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$