与えられた3つの方程式について、それらを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求めます。 (1) $x+3y+5z = 16$ (2) $4x+2y+z = 15$ (3) $x+y+z^2 = 6$

代数学連立方程式自然数解整数問題
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式について、それらを満たす自然数 x,y,zx, y, z の組をすべて求めます。
(1) x+3y+5z=16x+3y+5z = 16
(2) 4x+2y+z=154x+2y+z = 15
(3) x+y+z2=6x+y+z^2 = 6

2. 解き方の手順

(1) x+3y+5z=16x+3y+5z = 16
x,y,zx, y, z は自然数なので、x1,y1,z1x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1
5z1613=125z \le 16 - 1 - 3 = 12 より z125=2.4z \le \frac{12}{5} = 2.4 なので z=1,2z = 1, 2
z=1z=1 のとき x+3y=11x+3y = 113y103y \le 10 より y103=3.33y \le \frac{10}{3} = 3.33 なので y=1,2,3y = 1, 2, 3
y=1y=1 のとき x=8x=8
y=2y=2 のとき x=5x=5
y=3y=3 のとき x=2x=2
z=2z=2 のとき x+3y=6x+3y = 63y53y \le 5 より y53=1.66y \le \frac{5}{3} = 1.66 なので y=1y=1
y=1y=1 のとき x=3x=3
(2) 4x+2y+z=154x+2y+z = 15
x,y,zx, y, z は自然数なので、x1,y1,z1x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1
4x+2y=15z144x+2y = 15 - z \le 14
4x142=124x \le 14 - 2 = 12 より x3x \le 3 なので x=1,2,3x = 1, 2, 3
x=1x=1 のとき 2y+z=112y+z = 112y102y \le 10 より y5y \le 5 なので y=1,2,3,4,5y = 1, 2, 3, 4, 5
y=1y=1 のとき z=9z=9
y=2y=2 のとき z=7z=7
y=3y=3 のとき z=5z=5
y=4y=4 のとき z=3z=3
y=5y=5 のとき z=1z=1
x=2x=2 のとき 2y+z=72y+z = 72y62y \le 6 より y3y \le 3 なので y=1,2,3y = 1, 2, 3
y=1y=1 のとき z=5z=5
y=2y=2 のとき z=3z=3
y=3y=3 のとき z=1z=1
x=3x=3 のとき 2y+z=32y+z = 32y22y \le 2 より y=1y = 1
y=1y=1 のとき z=1z=1
(3) x+y+z2=6x+y+z^2 = 6
x,y,zx, y, z は自然数なので、x1,y1,z1x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1
z2611=4z^2 \le 6-1-1 = 4 より z2z \le 2 なので z=1,2z = 1, 2
z=1z=1 のとき x+y=5x+y = 5x4x \le 4 より x=1,2,3,4x = 1, 2, 3, 4
x=1x=1 のとき y=4y=4
x=2x=2 のとき y=3y=3
x=3x=3 のとき y=2y=2
x=4x=4 のとき y=1y=1
z=2z=2 のとき x+y=2x+y = 2x1x \le 1 より x=1x = 1
x=1x=1 のとき y=1y=1

3. 最終的な答え

(1) (x,y,z)=(8,1,1),(5,2,1),(2,3,1),(3,1,2)(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)
(2) (x,y,z)=(1,1,9),(1,2,7),(1,3,5),(1,4,3),(1,5,1),(2,1,5),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,1)(x, y, z) = (1, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 5), (1, 4, 3), (1, 5, 1), (2, 1, 5), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 1)
(3) (x,y,z)=(1,4,1),(2,3,1),(3,2,1),(4,1,1),(1,1,2)(x, y, z) = (1, 4, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (4, 1, 1), (1, 1, 2)

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