与えられた3つの方程式について、それらを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求めます。 (1) $x+3y+5z = 16$ (2) $4x+2y+z = 15$ (3) $x+y+z^2 = 6$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式について、それらを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求めます。

(1) $x+3y+5z = 16$

(2) $4x+2y+z = 15$

(3) $x+y+z^2 = 6$

2. 解き方の手順

(1) $x+3y+5z = 16$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$。

$5z \le 16 - 1 - 3 = 12$ より $z \le \frac{12}{5} = 2.4$ なので $z = 1, 2$。

$z=1$ のとき $x+3y = 11$。$3y \le 10$ より $y \le \frac{10}{3} = 3.33$ なので $y = 1, 2, 3$。

$y=1$ のとき $x=8$。

$y=2$ のとき $x=5$。

$y=3$ のとき $x=2$。

$z=2$ のとき $x+3y = 6$。$3y \le 5$ より $y \le \frac{5}{3} = 1.66$ なので $y=1$。

$y=1$ のとき $x=3$。

(2) $4x+2y+z = 15$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$。

$4x+2y = 15 - z \le 14$。

$4x \le 14 - 2 = 12$ より $x \le 3$ なので $x = 1, 2, 3$。

$x=1$ のとき $2y+z = 11$。$2y \le 10$ より $y \le 5$ なので $y = 1, 2, 3, 4, 5$。

$y=1$ のとき $z=9$。

$y=2$ のとき $z=7$。

$y=3$ のとき $z=5$。

$y=4$ のとき $z=3$。

$y=5$ のとき $z=1$。

$x=2$ のとき $2y+z = 7$。$2y \le 6$ より $y \le 3$ なので $y = 1, 2, 3$。

$y=1$ のとき $z=5$。

$y=2$ のとき $z=3$。

$y=3$ のとき $z=1$。

$x=3$ のとき $2y+z = 3$。$2y \le 2$ より $y = 1$。

$y=1$ のとき $z=1$。

(3) $x+y+z^2 = 6$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$。

$z^2 \le 6-1-1 = 4$ より $z \le 2$ なので $z = 1, 2$。

$z=1$ のとき $x+y = 5$。$x \le 4$ より $x = 1, 2, 3, 4$。

$x=1$ のとき $y=4$。

$x=2$ のとき $y=3$。

$x=3$ のとき $y=2$。

$x=4$ のとき $y=1$。

$z=2$ のとき $x+y = 2$。$x \le 1$ より $x = 1$。

$x=1$ のとき $y=1$。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)$

(2) $(x, y, z) = (1, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 5), (1, 4, 3), (1, 5, 1), (2, 1, 5), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 1)$

(3) $(x, y, z) = (1, 4, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (4, 1, 1), (1, 1, 2)$