与えられた3つの方程式について、それぞれを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求める問題です。 (1) $x+3y+5z=16$ (2) $4x+2y+z=15$ (3) $x+y+z^2=6$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式について、それぞれを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求める問題です。

(1) $x+3y+5z=16$

(2) $4x+2y+z=15$

(3) $x+y+z^2=6$

2. 解き方の手順

(1) $x+3y+5z=16$

まず、$z$について場合分けします。

$z=1$のとき、$x+3y=11$。$y=1$のとき$x=8$。$y=2$のとき$x=5$。$y=3$のとき$x=2$。

$z=2$のとき、$x+3y=6$。$y=1$のとき$x=3$。

$z\geq 3$のとき、$5z \geq 15$となり、$x,y$は自然数なので、$x+3y+5z \geq 16$を満たすことはできません。

(2) $4x+2y+z=15$

$x$について場合分けします。

$x=1$のとき、$2y+z=11$。$y=1$のとき$z=9$。$y=2$のとき$z=7$。$y=3$のとき$z=5$。$y=4$のとき$z=3$。$y=5$のとき$z=1$。

$x=2$のとき、$2y+z=7$。$y=1$のとき$z=5$。$y=2$のとき$z=3$。$y=3$のとき$z=1$。

$x=3$のとき、$2y+z=3$。$y=1$のとき$z=1$。

$x\geq 4$のとき、$4x \geq 16$となり、$2y+z$が負になるので不適。

(3) $x+y+z^2=6$

$z$について場合分けします。

$z=1$のとき、$x+y=5$。$(x,y)=(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$

$z=2$のとき、$x+y=2$。$(x,y)=(1,1)$

$z\geq 3$のとき、$z^2\geq 9$となり、$x,y$は自然数なので、$x+y+z^2\geq 11$を満たすことはできません。

3. 最終的な答え

(1) $(x,y,z)=(8,1,1), (5,2,1), (2,3,1), (3,1,2)$

(2) $(x,y,z)=(1,1,9), (1,2,7), (1,3,5), (1,4,3), (1,5,1), (2,1,5), (2,2,3), (2,3,1), (3,1,1)$

(3) $(x,y,z)=(1,4,1), (2,3,1), (3,2,1), (4,1,1), (1,1,2)$