与えられた3つの方程式について、それぞれを満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求める問題です。 (1) $x+3y+5z=16$ (2) $4x+2y+z=15$ (3) $x+y+z^2=6$

代数学連立方程式整数解場合分け
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式について、それぞれを満たす自然数 x,y,zx, y, z の組をすべて求める問題です。
(1) x+3y+5z=16x+3y+5z=16
(2) 4x+2y+z=154x+2y+z=15
(3) x+y+z2=6x+y+z^2=6

2. 解き方の手順

(1) x+3y+5z=16x+3y+5z=16
まず、zzについて場合分けします。
z=1z=1のとき、x+3y=11x+3y=11y=1y=1のときx=8x=8y=2y=2のときx=5x=5y=3y=3のときx=2x=2
z=2z=2のとき、x+3y=6x+3y=6y=1y=1のときx=3x=3
z3z\geq 3のとき、5z155z \geq 15となり、x,yx,yは自然数なので、x+3y+5z16x+3y+5z \geq 16を満たすことはできません。
(2) 4x+2y+z=154x+2y+z=15
xxについて場合分けします。
x=1x=1のとき、2y+z=112y+z=11y=1y=1のときz=9z=9y=2y=2のときz=7z=7y=3y=3のときz=5z=5y=4y=4のときz=3z=3y=5y=5のときz=1z=1
x=2x=2のとき、2y+z=72y+z=7y=1y=1のときz=5z=5y=2y=2のときz=3z=3y=3y=3のときz=1z=1
x=3x=3のとき、2y+z=32y+z=3y=1y=1のときz=1z=1
x4x\geq 4のとき、4x164x \geq 16となり、2y+z2y+zが負になるので不適。
(3) x+y+z2=6x+y+z^2=6
zzについて場合分けします。
z=1z=1のとき、x+y=5x+y=5(x,y)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)(x,y)=(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)
z=2z=2のとき、x+y=2x+y=2(x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1)
z3z\geq 3のとき、z29z^2\geq 9となり、x,yx,yは自然数なので、x+y+z211x+y+z^2\geq 11を満たすことはできません。

3. 最終的な答え

(1) (x,y,z)=(8,1,1),(5,2,1),(2,3,1),(3,1,2)(x,y,z)=(8,1,1), (5,2,1), (2,3,1), (3,1,2)
(2) (x,y,z)=(1,1,9),(1,2,7),(1,3,5),(1,4,3),(1,5,1),(2,1,5),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,1)(x,y,z)=(1,1,9), (1,2,7), (1,3,5), (1,4,3), (1,5,1), (2,1,5), (2,2,3), (2,3,1), (3,1,1)
(3) (x,y,z)=(1,4,1),(2,3,1),(3,2,1),(4,1,1),(1,1,2)(x,y,z)=(1,4,1), (2,3,1), (3,2,1), (4,1,1), (1,1,2)

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