与えられた3つの不定方程式について、それぞれの式を満たす自然数 $x, y, z$ の組を全て求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの不定方程式について、それぞれの式を満たす自然数 $x, y, z$ の組を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $x + 3y + 5z = 16$

$x, y, z$ は自然数なので、$z$ の値から絞り込む。

$z = 1$ のとき、$x + 3y = 11$ となる。

$y = 1$ のとき、$x = 8$

$y = 2$ のとき、$x = 5$

$y = 3$ のとき、$x = 2$

$z = 2$ のとき、$x + 3y = 6$ となる。

$y = 1$ のとき、$x = 3$

(2) $4x + 2y + z = 15$

$x, y, z$ は自然数なので、$x$ の値から絞り込む。

$x = 1$ のとき、$2y + z = 11$ となる。

$y = 1$ のとき、$z = 9$

$y = 2$ のとき、$z = 7$

$y = 3$ のとき、$z = 5$

$y = 4$ のとき、$z = 3$

$y = 5$ のとき、$z = 1$

$x = 2$ のとき、$2y + z = 7$ となる。

$y = 1$ のとき、$z = 5$

$y = 2$ のとき、$z = 3$

$y = 3$ のとき、$z = 1$

$x = 3$ のとき、$2y + z = 3$ となる。

$y = 1$ のとき、$z = 1$

(3) $x + y + z^2 = 6$

$x, y, z$ は自然数なので、$z$ の値から絞り込む。

$z = 1$ のとき、$x + y = 5$ となる。

$(x, y) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$

$z = 2$ のとき、$x + y = 2$ となる。

$x = 1$ のとき、$y = 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)$

(2) $(x, y, z) = (1, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 5), (1, 4, 3), (1, 5, 1), (2, 1, 5), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 1)$

(3) $(x, y, z) = (1, 4, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (4, 1, 1), (1, 1, 2)$