与えられた3つの不定方程式について、それぞれの式を満たす自然数 $x, y, z$ の組を全て求める。

代数学不定方程式整数解方程式
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた3つの不定方程式について、それぞれの式を満たす自然数 x,y,zx, y, z の組を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) x+3y+5z=16x + 3y + 5z = 16
x,y,zx, y, z は自然数なので、zz の値から絞り込む。
z=1z = 1 のとき、x+3y=11x + 3y = 11 となる。
y=1y = 1 のとき、x=8x = 8
y=2y = 2 のとき、x=5x = 5
y=3y = 3 のとき、x=2x = 2
z=2z = 2 のとき、x+3y=6x + 3y = 6 となる。
y=1y = 1 のとき、x=3x = 3
(2) 4x+2y+z=154x + 2y + z = 15
x,y,zx, y, z は自然数なので、xx の値から絞り込む。
x=1x = 1 のとき、2y+z=112y + z = 11 となる。
y=1y = 1 のとき、z=9z = 9
y=2y = 2 のとき、z=7z = 7
y=3y = 3 のとき、z=5z = 5
y=4y = 4 のとき、z=3z = 3
y=5y = 5 のとき、z=1z = 1
x=2x = 2 のとき、2y+z=72y + z = 7 となる。
y=1y = 1 のとき、z=5z = 5
y=2y = 2 のとき、z=3z = 3
y=3y = 3 のとき、z=1z = 1
x=3x = 3 のとき、2y+z=32y + z = 3 となる。
y=1y = 1 のとき、z=1z = 1
(3) x+y+z2=6x + y + z^2 = 6
x,y,zx, y, z は自然数なので、zz の値から絞り込む。
z=1z = 1 のとき、x+y=5x + y = 5 となる。
(x,y)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)(x, y) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
z=2z = 2 のとき、x+y=2x + y = 2 となる。
x=1x = 1 のとき、y=1y = 1

3. 最終的な答え

(1) (x,y,z)=(8,1,1),(5,2,1),(2,3,1),(3,1,2)(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)
(2) (x,y,z)=(1,1,9),(1,2,7),(1,3,5),(1,4,3),(1,5,1),(2,1,5),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,1)(x, y, z) = (1, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 5), (1, 4, 3), (1, 5, 1), (2, 1, 5), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 1)
(3) (x,y,z)=(1,4,1),(2,3,1),(3,2,1),(4,1,1),(1,1,2)(x, y, z) = (1, 4, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (4, 1, 1), (1, 1, 2)

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