画像に書かれた3つの問題は、絶対値記号を含む方程式または不等式を解く問題です。 (1) $|x+2|=3x+1$ (2) $|2x-3|>x$ (3) $|x+1|+|x-2|=3x-4$

代数学絶対値方程式不等式場合分け
2025/5/17

1. 問題の内容

画像に書かれた3つの問題は、絶対値記号を含む方程式または不等式を解く問題です。
(1) x+2=3x+1|x+2|=3x+1
(2) 2x3>x|2x-3|>x
(3) x+1+x2=3x4|x+1|+|x-2|=3x-4

2. 解き方の手順

(1) x+2=3x+1|x+2|=3x+1
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
(i) x+20x+2 \geq 0 すなわち x2x \geq -2 のとき
x+2=3x+1x+2=3x+1
2x=12x = 1
x=12x = \frac{1}{2}
122\frac{1}{2} \geq -2 を満たすので、x=12x = \frac{1}{2} は解です。
(ii) x+2<0x+2 < 0 すなわち x<2x < -2 のとき
(x+2)=3x+1-(x+2) = 3x+1
x2=3x+1-x-2 = 3x+1
4x=34x = -3
x=34x = -\frac{3}{4}
34<2-\frac{3}{4} < -2 を満たさないので、x=34x=-\frac{3}{4} は解ではありません。
(2) 2x3>x|2x-3|>x
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
(i) 2x302x-3 \geq 0 すなわち x32x \geq \frac{3}{2} のとき
2x3>x2x-3 > x
x>3x > 3
x32x \geq \frac{3}{2}x>3x > 3 の共通範囲は x>3x > 3 です。
(ii) 2x3<02x-3 < 0 すなわち x<32x < \frac{3}{2} のとき
(2x3)>x-(2x-3) > x
2x+3>x-2x+3 > x
3x<33x < 3
x<1x < 1
x<32x < \frac{3}{2}x<1x < 1 の共通範囲は x<1x < 1 です。
よって、x>3x>3 または x<1x<1
(3) x+1+x2=3x4|x+1|+|x-2|=3x-4
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
場合分けの境界は x=1x=-1x=2x=2 です。
(i) x<1x < -1 のとき
(x+1)(x2)=3x4-(x+1) - (x-2) = 3x-4
x1x+2=3x4-x-1-x+2 = 3x-4
2x+1=3x4-2x+1 = 3x-4
5x=55x = 5
x=1x = 1
x<1x< -1 を満たさないので、解ではありません。
(ii) 1x<2-1 \leq x < 2 のとき
(x+1)(x2)=3x4(x+1) - (x-2) = 3x-4
x+1x+2=3x4x+1-x+2 = 3x-4
3=3x43 = 3x-4
3x=73x = 7
x=73x = \frac{7}{3}
1x<2-1 \leq x < 2 を満たさないので、解ではありません。
(iii) x2x \geq 2 のとき
(x+1)+(x2)=3x4(x+1) + (x-2) = 3x-4
x+1+x2=3x4x+1+x-2 = 3x-4
2x1=3x42x-1 = 3x-4
x=3x = 3
x2x \geq 2 を満たすので、x=3x=3 は解です。

3. 最終的な答え

(1) x=12x = \frac{1}{2}
(2) x<1x<1 または x>3x>3
(3) x=3x = 3

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