画像に書かれた3つの問題は、絶対値記号を含む方程式または不等式を解く問題です。 (1) $|x+2|=3x+1$ (2) $|2x-3|>x$ (3) $|x+1|+|x-2|=3x-4$

1. 問題の内容

画像に書かれた3つの問題は、絶対値記号を含む方程式または不等式を解く問題です。

(1) $|x+2|=3x+1$

(2) $|2x-3|>x$

(3) $|x+1|+|x-2|=3x-4$

2. 解き方の手順

(1) $|x+2|=3x+1$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x+2 \geq 0$ すなわち $x \geq -2$ のとき

$x+2=3x+1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \geq -2$ を満たすので、$x = \frac{1}{2}$ は解です。

(ii) $x+2 < 0$ すなわち $x < -2$ のとき

$-(x+2) = 3x+1$

$-x-2 = 3x+1$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

$-\frac{3}{4} < -2$ を満たさないので、$x=-\frac{3}{4}$ は解ではありません。

(2) $|2x-3|>x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $2x-3 \geq 0$ すなわち $x \geq \frac{3}{2}$ のとき

$2x-3 > x$

$x > 3$

$x \geq \frac{3}{2}$ と $x > 3$ の共通範囲は $x > 3$ です。

(ii) $2x-3 < 0$ すなわち $x < \frac{3}{2}$ のとき

$-(2x-3) > x$

$-2x+3 > x$

$3x < 3$

$x < 1$

$x < \frac{3}{2}$ と $x < 1$ の共通範囲は $x < 1$ です。

よって、$x>3$ または $x<1$

(3) $|x+1|+|x-2|=3x-4$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

場合分けの境界は $x=-1$ と $x=2$ です。

(i) $x < -1$ のとき

$-(x+1) - (x-2) = 3x-4$

$-x-1-x+2 = 3x-4$

$-2x+1 = 3x-4$

$5x = 5$

$x = 1$

$x< -1$ を満たさないので、解ではありません。

(ii) $-1 \leq x < 2$ のとき

$(x+1) - (x-2) = 3x-4$

$x+1-x+2 = 3x-4$

$3 = 3x-4$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

$-1 \leq x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき

$(x+1) + (x-2) = 3x-4$

$x+1+x-2 = 3x-4$

$2x-1 = 3x-4$

$x = 3$

$x \geq 2$ を満たすので、$x=3$ は解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x<1$ または $x>3$

(3) $x = 3$