2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ の $y$ の値が常に正であるためには、この2次関数のグラフが常に $x$ 軸より上に存在する必要がある。これは、放物線が $x$ 軸と交わらない、つまり実数解を持たないことを意味する。

判別式 $D$ が $D < 0$ である条件を求める。

与えられた2次関数の判別式 $D$ は、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a) = 4a^2 - 4a$

$y$ の値が常に正であるためには、$D < 0$ でなければならない。

したがって、$4a^2 - 4a < 0$。

両辺を4で割ると、$a^2 - a < 0$。

因数分解すると、$a(a - 1) < 0$。

この不等式を解くと、$0 < a < 1$。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$