$x$ を実数、$a, b$ を正の定数とする。条件 $p$：$|2x-3| \le 4$、条件 $q$：$(x-1)^2 \le a$、条件 $r$：$(x-b)^2 \ge 1$ が与えられている。 (ア) 条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (イ) $p$ が $q$ の十分条件であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。 (ウ) $p$ が $r$ の十分条件であるとき、$b$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ を実数、$a, b$ を正の定数とする。条件 $p$：$|2x-3| \le 4$、条件 $q$：$(x-1)^2 \le a$、条件 $r$：$(x-b)^2 \ge 1$ が与えられている。

(ア) 条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(イ) $p$ が $q$ の十分条件であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

(ウ) $p$ が $r$ の十分条件であるとき、$b$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 条件 $p$：$|2x-3| \le 4$ を解く。

$-4 \le 2x-3 \le 4$

$-1 \le 2x \le 7$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

(イ) 条件 $q$：$(x-1)^2 \le a$ を解く。

$-\sqrt{a} \le x-1 \le \sqrt{a}$

$1-\sqrt{a} \le x \le 1+\sqrt{a}$

$p$ が $q$ の十分条件であるから、$p \Rightarrow q$ が成り立つ。

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ ならば $1-\sqrt{a} \le x \le 1+\sqrt{a}$ である。

すなわち、

$1-\sqrt{a} \le -\frac{1}{2}$ かつ $\frac{7}{2} \le 1+\sqrt{a}$

$\frac{3}{2} \le \sqrt{a}$ かつ $\frac{5}{2} \le \sqrt{a}$

$\sqrt{a} \ge \frac{5}{2}$

$a \ge \frac{25}{4}$

(ウ) 条件 $r$：$(x-b)^2 \ge 1$ を解く。

$x-b \ge 1$ または $x-b \le -1$

$x \ge b+1$ または $x \le b-1$

$p$ が $r$ の十分条件であるから、$p \Rightarrow r$ が成り立つ。

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ ならば $x \ge b+1$ または $x \le b-1$ である。

すなわち、$b+1 \ge \frac{7}{2}$ かつ $b-1 \le -\frac{1}{2}$ は成り立たない。

$p \Rightarrow r$ であるためには、

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ の範囲で $x \ge b+1$ または $x \le b-1$ が常に成り立つ必要がある。

これは、$b-1 \le -\frac{1}{2}$ かつ $b+1 \ge \frac{7}{2}$ を満たすとき、

$-\frac{1}{2} \le x \le b-1$ または $b+1 \le x \le \frac{7}{2}$ となるため、不適。

したがって、

$b-1 > -\frac{1}{2}$ または $b+1 < \frac{7}{2}$ が必要。

よって、$b > \frac{1}{2}$ または $b < \frac{5}{2}$ が必要となる。

これでは範囲が定まらないため、条件を言い換える必要がある。

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ を満たすすべての $x$ が $x \ge b+1$ または $x \le b-1$ を満たすとき、$p \Rightarrow r$ となる。

この逆、すなわち $x \ge b+1$ または $x \le b-1$ を満たすすべての $x$ が $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ を満たすとき、$r \Rightarrow p$ となる。

ところが、$b$ が定数なので、$x$ の範囲は $-\infty < x \le b-1$ または $b+1 \le x < \infty$ となり、$r \Rightarrow p$ は成立しえない。

したがって、 $p \Rightarrow r$ を満たすためには、

$b+1 > \frac{7}{2}$ または $b-1 < -\frac{1}{2}$ は成り立たない。

そのため、 $(b-1, b+1)$ という区間が $(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ に含まれる必要がある。

言い換えると、$b-1 \ge -\frac{1}{2}$ かつ $b+1 \le \frac{7}{2}$ が必要。

$b \ge \frac{1}{2}$ かつ $b \le \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2} \le b \le \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(ア) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

(イ) $a \ge \frac{25}{4}$

(ウ) $0 < b \le \frac{1}{2}$ , $b \ge \frac{7}{2}$